Nauka » Matematyka » Funkcja logarytmiczna

Zadanie - określanie dziedziny funkcji logarytmicznej

Treść zadania:

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}\).

Rozwiązanie zadania

Musimy tutaj wziąć pod uwagę aż trzy warunki.
1) Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek:

\(x^3-x^2>0\)

\(x^2(x-1)>0\)

Wyjęliśmy tutaj \(x^2\) przed nawias, doprowadzając wielomian do postaci iloczynowej. Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian posiada dwa pierwiastki: \(0\) i \(1\). Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

\(x\)	\((-\infty;0)\)	0	\((0;1)\)	1	\((1;+\infty)\)
\(x^2\)	+	0	+	+	+
\(x-1\)	-	-	-	0	+
\(x^2(x-1)\)	-	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;0)\), niech to będzie \(-1\) i podstawmy do czynnika wielomianu \(x^2\) i otrzymujemy wynik \((-1)^2=1\), a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki) Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny \(1\cdot (-1)=-1\), więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny) Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(x^2(x-1)\) jest dodatni, a więc:

\(x\in (1;\infty)\)

2) Warunek drugi wynika z tego, iż podstawa logarytmu musi być różna od jedności.

\(-x^2+2x\neq 1\)

\(-x^2+2x-1\neq 0/\cdot (-1)\)

\(x^2-2x+1\neq 0\)

\((x-1)^2\neq 0\)

\(x\neq 1\)

We fragmencie obliczeń zaznaczonym na żółto wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia:

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

Doprowadzamy trójmian kwadratowy do postaci iloczynowej i stąd bezpośrednio odczytujemy wartość pierwiastka, równego jedności.

3) Warunek trzeci wynika z tego, że podstawa logarytmu musi być liczbą większą od zera. Mamy więc:

\(-x^2+2x>0\cdot (-1)\)

\(x^2-2x<0\)

\(x(x-2)<0\)

Mamy nierówność kwadratową i trójmian w postaci iloczynowej. Pierwiastki tego trójmianu, to liczby \(0\) i \(2\). Rozwiązanie odczytujemy ze szkicu wykresu. Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry i wykres przecina oś \(OX\) w punktach \(0\) i \(2\). Szukamy wartości funkcji mniejszych od zera.

Rysunek pomocniczy