Zadanie - określanie dziedziny funkcji logarytmicznej

Rozwiązanie zadania uproszczone
Warunek 1
Sporządzamy siatkę znaków:
x | ![]() | 0 | (0;1) | 1 | ![]() |
x2 | + | 0 | + | + | + |
x-1 | - | - | - | 0 | + |
x2(x-1) | - | 0 | - | 0 | + |

Warunek 2

Warunek 3



Aby określić dziedzinę naszej funkcji musimy uwzględnić jednocześnie wszystkie trzy warunki.



Dziedziną rozpatrywanej funkcji jest zbiór

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Musimy tutaj wziąć pod uwagę aż trzy warunki.
1) Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek:

Wyjęliśmy tutaj x2 przed nawias, doprowadzając wielomian do postaci iloczynowej. Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian posiada dwa pierwiastki: 0 i 1. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:
x | ![]() | 0 | (0;1) | 1 | ![]() |
x2 | + | 0 | + | + | + |
x-1 | - | - | - | 0 | + |
x2(x-1) | - | 0 | - | 0 | + |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału , niech to będzie -1 i podstawmy do czynnika wielomianu x2 i otrzymujemy wynik (-1)2=1, a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki)
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny 1·(-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian x2(x-1) jest dodatni, a więc:

2) Warunek drugi wynika z tego, iż podstawa logarytmu musi być różna od jedności.



We fragmencie obliczeń zaznaczonym na żółto wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia

doprowadzając trójmian kwadratowy do postaci iloczynowej i stąd bezpośrednio odczytujemy wartość pierwiastka, równego jedności.
3) Warunek trzeci wynika z tego, że podstawa logarytmu musi być liczbą większą od zera. Mamy więc:

Mamy nierówność kwadratową i trójmian w postaci iloczynowej. Pierwiastki tego trójmianu, to liczby 0 i 2. Rozwiązanie odczytujemy ze szkicu wykresu. Współczynnik a jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry i wykres przecina oś OX w punktach 0 i 2. Szukamy wartości funkcji mniejszych od zera.


Aby określić dziedzinę naszej funkcji musimy uwzględnić jednocześnie wszystkie trzy warunki. Możemy je zapisać używając do tego celu klamry:





Dziedziną naszej funkcji będzie część wspólna powyższych zbiorów. Zaznaczmy je na osi liczbowej.

Rozwiązanie odczytujemy na podstawie powyższego rysunku:

Odpowiedź


© medianauka.pl, 2009-12-08, ZAD-417
Zadania podobne

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania