Strona główna » Matematyka » Funkcja logarytmiczna

Zadanie - określanie dziedziny funkcji logarytmicznej

Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Warunek 1
$x^3-x^2>0 \\ x^2(x-1)>0$

Sporządzamy siatkę znaków:

x	$(-\infty;0)$	0	(0;1)	1	$(1;+\infty)$
x²	+	0	+	+	+
x-1	-	-	-	0	+
x²(x-1)	-	0	-	0	+

$x\in (1;\infty)$

Warunek 2
$-x^2+2x\neq 1 \\ -x^2+2x-1\neq 0/\cdot (-1) \\ x^2-2x+1\neq 0 \\ (x-1)^2\neq 0 \\ x\neq 1$

Warunek 3
$-x^2+2x>0\cdot (-1) \\ x^2-2x<0 \\ x(x-2)<0$
Rysunek pomocniczy

$x\in(0;2)$

Aby określić dziedzinę naszej funkcji musimy uwzględnić jednocześnie wszystkie trzy warunki.

$\begin{cases}x^3-x^2>0 \\ -x^2+2x\neq 1 \\ -x^2+2x>0 \end{cases}$ $\begin{cases}x\in (1;\infty) \\ x\neq 1 \\ x\in(0;2) \end{cases}$
oś liczbowa, rysunek pomocniczy

Dziedziną rozpatrywanej funkcji jest zbiór $x\in (1;2)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Musimy tutaj wziąć pod uwagę aż trzy warunki.
1) Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek:

$x^3-x^2>0 \\ x^2(x-1)>0$

Wyjęliśmy tutaj x² przed nawias, doprowadzając wielomian do postaci iloczynowej. Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian posiada dwa pierwiastki: 0 i 1. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x	$(-\infty;0)$	0	(0;1)	1	$(1;+\infty)$
x²	+	0	+	+	+
x-1	-	-	-	0	+
x²(x-1)	-	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału $(-\infty;0)$ , niech to będzie -1 i podstawmy do czynnika wielomianu x² i otrzymujemy wynik (-1)²=1, a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki) Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny 1·(-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny) Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian x²(x-1) jest dodatni, a więc:

$x\in (1;\infty)$

2) Warunek drugi wynika z tego, iż podstawa logarytmu musi być różna od jedności.

$-x^2+2x\neq 1 \\ -x^2+2x-1\neq 0/\cdot (-1) \\ x^2-2x+1\neq 0 \\ (x-1)^2\neq 0 \\ x\neq 1$ tło

We fragmencie obliczeń zaznaczonym na żółto wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia

doprowadzając trójmian kwadratowy do postaci iloczynowej i stąd bezpośrednio odczytujemy wartość pierwiastka, równego jedności.

3) Warunek trzeci wynika z tego, że podstawa logarytmu musi być liczbą większą od zera. Mamy więc:

$-x^2+2x>0\cdot (-1) \\ x^2-2x<0 \\ x(x-2)<0$

Mamy nierówność kwadratową i trójmian w postaci iloczynowej. Pierwiastki tego trójmianu, to liczby 0 i 2. Rozwiązanie odczytujemy ze szkicu wykresu. Współczynnik a jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry i wykres przecina oś OX w punktach 0 i 2. Szukamy wartości funkcji mniejszych od zera.

$x\in(0;2)$

Aby określić dziedzinę naszej funkcji musimy uwzględnić jednocześnie wszystkie trzy warunki. Możemy je zapisać używając do tego celu klamry:

$\begin{cases}x\in (1;\infty) \\ x\neq 1 \\ x\in(0;2) \end{cases}$ tło