Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej


Wyznaczyć dziedzinę funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Warunek 1:

x+2\neq 0 \Leftrightarrow x\neq -2

Warunek 2:

\frac{x}{x+2}>0 \\ x(x+2)>0
Wykres pomocniczy
x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)

Określenie dziedziny:

\begin{cases} x\neq -2 \\ x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty) \end{cases} \Leftrightarrow x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)

Dziedziną rozpatrywanej funkcji jest zbiór (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

1) Po pierwsze wartość mianownika ułamek, który występuję pod logarytmem musi być różna od zera. Zatem mamy pierwszy warunek:

x+2\neq 0 \\ x\neq -2

2) Po drugie: elementarna funkcja logarytmiczna jest określona dla R+. Czyli wartość pod logarytmem musi być większa od zera. Mamy zatem warunek:

\frac{x}{x+2}>0 \\ x(x+2)>0

Iloraz zastąpiliśmy iloczynem, gdyż znak ilorazu dwóch dowolnych liczb jest taki sam, jak znak iloczynu tych liczb. Mamy więc do rozwiązania nierówność kwadratową. Mamy postać iloczynową trójmianu, czyli (x-x1)(x-x2), więc można odczytać pierwiastki. Są to liczby 0 i -2 (trójmian można zapisać tak: (x-0)[x-(-2)]). Ramiona paraboli skierowane są w górę, więc po naszkicowaniu wykresu trójmianu możemy odczytać rozwiązanie.

Wykres pomocniczy

Odczytujemy z wykresu, że trójmian kwadratowy (a zatem także nasz iloraz) przyjmuje wartości dodatnie dla x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty).

Aby określić dziedzinę naszej funkcji należy uwzględnić oba warunki:

\begin{cases} x\neq -2 \\ x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty) \end{cases}

Oba jednocześnie są spełnione, gdy (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)

ksiązki Odpowiedź

Dziedziną funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}} jest zbiór: (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)

© medianauka.pl, 2009-12-06, ZAD-416





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.