Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej

Treść zadania:

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

1) Po pierwsze wartość mianownika ułamek, który występuję pod logarytmem musi być różna od zera. Zatem mamy pierwszy warunek:

\(x+2\neq 0\)

\(x\neq -2\)

2) Po drugie: elementarna funkcja logarytmiczna jest określona dla \(\mathbb{R_+\). Czyli wartość pod logarytmem musi być większa od zera. Mamy zatem warunek:

\(\frac{x}{x+2}>0\)

\(x(x+2)>0\)

Iloraz zastąpiliśmy iloczynem, gdyż znak ilorazu dwóch dowolnych liczb jest taki sam, jak znak iloczynu tych liczb. Mamy więc do rozwiązania nierówność kwadratową. Mamy postać iloczynową trójmianu, czyli \((x-x_1)(x-x_2)\), więc można odczytać pierwiastki. Są to liczby \(0\) i \(-2\) (trójmian można zapisać tak: \((x-0)[x-(-2)])\). Ramiona paraboli skierowane są w górę, więc po naszkicowaniu wykresu trójmianu możemy odczytać rozwiązanie.

Wykres pomocniczy

Odczytujemy z wykresu, że trójmian kwadratowy (a zatem także nasz iloraz) przyjmuje wartości dodatnie dla \(x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)\).

Aby określić dziedzinę naszej funkcji należy uwzględnić oba warunki:

\(\begin{cases} x\neq -2\\x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty) \end{cases}\)

Oba jednocześnie są spełnione, gdy \((-\infty;-2)\cup (0;+\infty)\).

ksiązki Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}\) jest zbiór \((-\infty;-2)\cup (0;+\infty)\).

© medianauka.pl, 2009-12-06, ZAD-416

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log(5x^2-3x+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{2}{4x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.