Nauka » Matematyka » Funkcja logarytmiczna

Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej

Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Warunek 1:

$x+2\neq 0 \Leftrightarrow x\neq -2$

Warunek 2:

$\frac{x}{x+2}>0 \\ x(x+2)>0$
Wykres pomocniczy

$x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)$

Określenie dziedziny:

$\begin{cases} x\neq -2 \\ x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty) \end{cases} \Leftrightarrow x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)$

Dziedziną rozpatrywanej funkcji jest zbiór $(-\infty;-2)\cup (0;+\infty)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

1) Po pierwsze wartość mianownika ułamek, który występuję pod logarytmem musi być różna od zera. Zatem mamy pierwszy warunek:

$x+2\neq 0 \\ x\neq -2$

2) Po drugie: elementarna funkcja logarytmiczna jest określona dla R₊. Czyli wartość pod logarytmem musi być większa od zera. Mamy zatem warunek:

$\frac{x}{x+2}>0 \\ x(x+2)>0$

Iloraz zastąpiliśmy iloczynem, gdyż znak ilorazu dwóch dowolnych liczb jest taki sam, jak znak iloczynu tych liczb. Mamy więc do rozwiązania nierówność kwadratową. Mamy postać iloczynową trójmianu, czyli (x-x₁)(x-x₂), więc można odczytać pierwiastki. Są to liczby 0 i -2 (trójmian można zapisać tak: (x-0)[x-(-2)]). Ramiona paraboli skierowane są w górę, więc po naszkicowaniu wykresu trójmianu możemy odczytać rozwiązanie.

Odczytujemy z wykresu, że trójmian kwadratowy (a zatem także nasz iloraz) przyjmuje wartości dodatnie dla $x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)$ .

Aby określić dziedzinę naszej funkcji należy uwzględnić oba warunki:

$\begin{cases} x\neq -2 \\ x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty) \end{cases}$

Oba jednocześnie są spełnione, gdy $(-\infty;-2)\cup (0;+\infty)$

Odpowiedź

Dziedziną funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}$ jest zbiór: $(-\infty;-2)\cup (0;+\infty)$

Zadania podobne

Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log(5x^2-3x+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - określanie dziedziny funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.