Nierówności

Nierówność z jedną niewiadomą jest to jedna z następujących form zdaniowych:

$f(x)<g(x)\\{f(x)>g(x)}\\{f(x)\geq{g(x)}}\\{f(x)\leq{g(x)}}$

gdzie f, g oznaczają funkcje zmiennej rzeczywistej. Zmienną x nazywamy niewiadomą. Pierwsze dwie nierówności nazywamy ostrymi, ostatnie dwie - nieostrymi.

Przykłady nierówności

Oto kilka przykładów nierówności:

$x<5\\{x+1\geq{0}}\\{-x+1>2x+44}\\{\sqrt{x}+1\leq{sinx}}\\{\frac{x^4-\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}}{log_2{(1+x^2)}}+1\geq{\sin{x-sqrt{1+2x}}}\\{m^2+m>2m-1}$
(tutaj niewiadomą jest m).

Dziedzina nierówności

Dziedzina nierówności jest to część wspólna dziedzin funkcji f, g.

Przykład

Jaka jest dziedzina nierówności $\frac{2}{x+1}<\frac{1}{x}$ ?

Dziedziną $\frac{2}{x+1}$ jest $R\backslash{\lbrace}-1\rbrace$ , a wyrażenia $\frac{1}{x}$ jest zbiór $R\backslash{\lbrace}0\rbrace$ . Zatem dziedziną tej nierówności jest zbiór $R\backslash{\lbrace}-1,0\rbrace$

Rozwiązywanie nierówności

Rozwiązanie nierówności jest to każda liczba, która spełnia tę nierówność. Zbiór rozwiązań nierówności jest to zbiór utworzony ze wszystkich rozwiązań tej nierówności. Aby rozwiązać nierówność należy znaleźć jej zbiór rozwiązań. Rozwiązanie nierówności najlepiej jest przedstawiać w postaci przedziału liczbowego.

Nierówności są równoważne jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Jeżeli nierówność nie ma rozwiązań (zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty), to nazywamy ją sprzeczną.

Przykład

Przykład nierówności równoważnych: x+1>2 i x-1>0.
Przykład nierówności sprzecznej: x²<0.

Pytania

Jak sprawdzić, czy podana liczba spełnia nierówność?

Aby sprawdzić czy podana liczba spełnia nierówność, należy podstawić za niewiadomą tę właśnie liczbę i sprawdzić, czy nierówność jest prawdziwa.

Na przykład aby sprawdzić, czy liczba 1 spełnia nierówność x-4>0, obliczamy 1-4>0, co daje nam zdanie fałszywe -3>0. Liczba 1 nie spełnia więc naszej nierówności.

Jak rozwiązać nierówność?

Stosujemy pewne metody rozwiązywania nierówności. Poniżej przedstawiamy linki do artykułów, w których pokazujemy jak rozwiązujemy różne typy nierówności:

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Nierówność

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jedną z liczb, które spełniają nierówność jest:

A. 1
B. -1
C. 2
D. -2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2017 (poziom podstawowy)
Do zbioru rozwiązań nierówności (x⁴ + 1)(2 - x) > 0 nie należy:

A. -3
B. -1
C. 1
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie
Równanie - wiadomości podstawowe

Rozwiązywanie równań
Metoda równań równoważnych polega na przekształcaniu równania w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danemu i łatwiejsze do rozwiązania.

Rozwiązywanie nierówności
Metoda nierówności równoważnych polega na ich przekształcaniu w tak, aby każde kolejne było równoważne i łatwiejsze do rozwiązania.

Metoda analizy starożytnych
Metoda analizy starożytnych polega na przekształcaniu równania tak, aby otrzymać równanie łatwiejsze i spełniające rozwiązania równania wyjściowego.

Test wiedzy