Nierówności

Nierówność z jedną niewiadomą jest to jedna z następujących form zdaniowych:

\(f(x)<g(x)\)

\({f(x)>g(x)}\)

\({f(x)\geq{g(x)}}\)

\({f(x)\leq{g(x)}}\)

gdzie \(f, g\) oznaczają funkcje zmiennej rzeczywistej. Zmienną \(x\) nazywamy niewiadomą. Pierwsze dwie nierówności nazywamy ostrymi, ostatnie dwie — nieostrymi.

Przykłady nierówności

Oto kilka przykładów nierówności:

\(x<5\)
\(x+1\geq{0}\)
\(-x+1>2x+44\)
\(\sqrt{x}+1\leq \sin{x}\)
\(\frac{x^4-\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}}{\log_2{(1+x^2)}}+1\geq \sin{(x-\sqrt{1+2x})}\)
\(m^2+m>2m-1\)

Znak nierówności

Wyróżniamy nierówności ostre i nieostre.

Znakami nierówności ostrych są:

„<” — „mniejsze od”,
„>” — „większe od”.

Znakami nierówności nieostrych są:

„\(\leq\)” — „mniejsze lub równe od”,
„\(\geq\)” — „większe lub równe od”.

Dziedzina nierówności

Dziedzina nierówności jest to część wspólna dziedzin funkcji \(f, g\).

Przykłady

Jaka jest dziedzina nierówności \(\frac{2}{x+1}<\frac{1}{x}\)?

Dziedziną \(\frac{2}{x+1}\) jest \(\mathbb{R}\setminus \lbrace-1\rbrace\), a wyrażenia \(\frac{1}{x}\) jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace\). Zatem dziedziną tej nierówności jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \lbrace -1,0\rbrace\).

Rozwiązywanie nierówności

Rozwiązanie nierówności jest to każda liczba, która spełnia tę nierówność. Co to oznacza? Jeżeli dowolną liczbę, która jest rozwiązaniem nierówności, podstawimy za niewiadomą, to otrzymamy zdanie prawdziwe.

Zbiór rozwiązań nierówności jest to zbiór utworzony ze wszystkich rozwiązań tej nierówności.

Aby rozwiązać nierówność, należy znaleźć jej zbiór rozwiązań. Rozwiązanie nierówności najlepiej jest przedstawiać w postaci przedziału liczbowego.

Jeżeli nierówność nie ma rozwiązań (zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty), to nazywamy ją sprzeczną.

Nierówności równoważne

Nierówności są równoważne, jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań.

Przykłady

Przykład nierówności równoważnych:

\(x+1>2\)
\(x-1>0\)

Przykład nierówności sprzecznych:

\(x^2<0\)
\(x+1>x+2\)

Przykłady

Rozwiąż nierówność \(-2x+4>0\).

Przekształcamy naszą nierówność do postaci nierówności równoważnych:

Najpierw przenosimy liczbę 4 na drugą stronę nierówności, zmieniając jej znak:

\(-2x>-4\)

Dzielimy obie strony nierówności przez \((-2)\), a ponieważ dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

\(-2x>-4/:(-2)\)

\(x<2\)

Rozwiązaniem nierówności są liczby rzeczywiste mniejsze od dwóch. Możemy to przedstawić za pomocą przedziału: \(x\in (-\infty; 2)\) lub wykresu na osi liczbowej.

graficzne rozwiązanie nierówności

Pytania

Jak sprawdzić, czy podana liczba spełnia nierówność?

Aby sprawdzić, czy podana liczba spełnia nierówność, należy podstawić za niewiadomą tę właśnie liczbę i sprawdzić, czy nierówność jest prawdziwa.

Na przykład, aby sprawdzić, czy liczba \(1\) spełnia nierówność \(x-4>0\), obliczamy \(1-4>0\), co daje nam zdanie fałszywe \(-3>0\). Liczba \(1\) nie spełnia więc naszej nierówności.

Jak rozwiązywać nierówności?

Stosujemy pewne metody rozwiązywania nierówności. Poniżej przedstawiamy linki do artykułów, w których pokazujemy, jak rozwiązujemy różne typy nierówności:

Kiedy zmieniamy znak nierówności?

Zawsze zmieniamy znak nierówności na przeciwny, gdy mnożymy lub dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną.

Jak rozwiązywać nierówności z wartością bezwzględną.

Temu zagadnieniu poświęcamy odrębny artykuł, do którego link znajdziesz poniżej.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x<-2\) jest:

A. \(1\)

B. \((-1)\)

C. \(2\)

D. \((-2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)>0\) nie należy:

A. \((-3)\)

B. \((-1)\)

C. \(1\)

D. \(3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność.

\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), takich że \(x<y\) , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) prawdziwa jest nierówność:

\(\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1−x)>2(3x−1)−12x\) jest przedział

A. \((-\frac{5}{3},+\infty)\)

B. \((-\infty,\frac{5}{3})\)

C. \((\frac{5}{3},+\infty)\)

D. \((-\infty,-\frac{5}{3})\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}>\frac{x}{5}\) jest przedział

A. \((-\infty; 0)\)