Nierowności - wiadomości podstawowe

Nierówność z jedną niewiadomą jest to jedna z następujących form zdaniowych:

$f(x)<g(x)\\{f(x)>g(x)}\\{f(x)\geq{g(x)}}\\{f(x)\leq{g(x)}}$

gdzie f, g oznaczają funkcje zmiennej rzeczywistej. Zmienną x nazywamy niewiadomą. Pierwsze dwie nierówności nazywamy ostrymi, ostatnie dwie - nieostrymi.

Przykład

Przykłady nierówności:

$x<5\\{x+1\geq{0}}\\{-x+1>2x+44}\\{\sqrt{x}+1\leq{sinx}}\\{\frac{x^4-\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}}{log_2{(1+x^2)}}+1\geq{\sin{x-sqrt{1+2x}}}\\{m^2+m>2m-1}$
(tutaj niewiadomą jest m).

Dziedzina nierówności jest to część wspólna dziedzin funkcji f, g.

Przykład

Jaka jest dziedzina nierówności $\frac{2}{x+1}<\frac{1}{x}$ ?

Dziedziną $\frac{2}{x+1}$ jest $R\backslash{\lbrace}-1\rbrace$ , a wyrażenia $\frac{1}{x}$ jest zbiór $R\backslash{\lbrace}0\rbrace$ . Zatem dziedziną tej nierówności jest zbiór $R\backslash{\lbrace}-1,0\rbrace$

Rozwiązanie nierówności jest to każda liczba, która spełnia tę nierówność. Zbiór rozwiązań nierówności jest to zbiór utworzony ze wszystkich rozwiązań tej nierówności. Aby rozwiązać nierówność należy znaleźć jej zbiór rozwiązań. Rozwiązanie nierówności najlepiej jest przedstawiać w postaci przedziału liczbowego.

Nierówności są równoważne jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Jeżeli nierówność nie ma rozwiązań (zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty), to nazywamy ją sprzeczną.

Przykład

Przykład nierówności równoważnych: x+1>2 i x-1>0.
Przykład nierówności sprzecznej: x²<0.