Logo Serwisu Media Nauka

Nierówność logarytmiczna

Teoria Nierówność logarytmiczna to taka nierówność, w której niewiadoma jest w podstawie logarytmu lub pod znakiem logarytmu.

Przykład Przykład

Poniżej kilka przykładów nierówności logarytmicznych.

\log_{x}{5}>3\\{\log_{5}{x}<3}\\{\log_{\frac{x}{2}}{x}\geq{2}}

Teoria Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych wymaga najpierw określenia dziedziny nierówności, czyli wszystkich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Rozwiązań szukamy w tym właśnie zbiorze.

Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Jeżeli podstawa logarytmu a>1, to funkcja logarytmiczna jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji.

\log_{a}{x}<\log_{a}{y}\Leftrightarrow{x<y}

Przykład Przykład

Rozwiązać nierówność: \log_{2}{x}\leq{4}

Określamy dziedzinę nierówności. Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek x>0.
Teraz liczbę 4 należy wyrazić poprzez logarytm o podstawie 2 (4=log216) i ponieważ podstawa logarytmów jest większa od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, bez konieczności zmiany zwrotu nierówności.

\log_{2}{x}\leq{4}\\{\log_{2}{x}\leq{\log_{2}{16}}\\x\leq{16}

Zaznaczamy na osi liczbowej dziedzinę nierówności oraz otrzymany wynik i wyznaczamy część wspólną zbiorów. Jest to rozwiązanie naszej nierówności.
wykres

Odpowiedź: x\in(0;16\rangle

Teoria Jeżeli podstawa logarytmu 0<a<1, to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie.

\log_{a}{x}<\log_{a}{y}\Leftrightarrow{x>y}

Przykład Przykład

Rozwiązać nierówność: \log_{\frac{1}{2}}{x}\leq{0}

Określamy dziedzinę nierówności. Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek x>0.
Teraz liczbę 0 należy wyrazić poprzez logarytm o podstawie 1/2 (0=log1/21) i ponieważ podstawa logarytmów jest mniejsza od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, ale wymagana jest zmiana zwrotu nierówności.

\log_{\frac{1}{2}}{x}\leq{0}\\{\log_{\frac{1}{2}}{x}\leq{\log_{\frac{1}{2}}{1}}}\\x\geq{1}
Wszystkie rozwiązania należą do dziedziny nierówności.
Odpowiedź: x\in{\langle1;+\infty)}

© medianauka.pl, 2009-12-13, ART-433





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - nierówność logarytmiczna
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1

zadanie-ikonka Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{x}{3}<0

zadanie-ikonka Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność logarytmiczna
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność logarytmiczna
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność wykładnicza
Rozwiązać nierówność wykładniczą \frac{5^x}{5}\leq 7.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.