Nierówności logarytmiczne

Nierówność logarytmiczna to taka nierówność, w której niewiadoma jest w podstawie logarytmu lub pod znakiem logarytmu.

Przykłady

Poniżej kilka przykładów nierówności logarytmicznych.

\(\log_{x}{5}>3\)
\(\log_{5}{x}<3\)
\(\log_{\frac{x}{2}}{x}\geq{2}\)

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych wymaga najpierw określenia dziedziny nierówności, czyli wszystkich wartości \(x\), dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Rozwiązań szukamy w tym właśnie zbiorze.

Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Jeżeli podstawa logarytmu \(a>1\), to funkcja logarytmiczna jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji.

\(\log_{a}{x}<\log_{a}{y}\Leftrightarrow{x<y}\)

Przykład 1

Rozwiąż nierówność logarytmiczną \(\log_{2}{x}\leq{4}\).

Najpierw określamy dziedzinę nierówności. Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek \(x>0\).

Teraz liczbę 4 należy wyrazić poprzez logarytm o podstawie 2 (\(4=\log_2{16}\)) i ponieważ podstawa logarytmów jest większa od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, bez konieczności zmiany zwrotu nierówności.

\(\log_{2}{x}\leq{4}\)

\(\log_{2}{x}\leq \log_{2}{16}\)

\(x\leq{16}\)

Zaznaczamy na osi liczbowej dziedzinę nierówności oraz otrzymany wynik i wyznaczamy część wspólną zbiorów. Jest to rozwiązanie naszej nierówności.

wykres

Odpowiedź: \(x\in(0;16\rangle\)

Jeżeli podstawa logarytmu \(0<a<1\), to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie.

\(\log_{a}{x}<\log_{a}{y}\Leftrightarrow{x>y}\)

Przykład 2

Rozwiązać nierówność \(\log_{\frac{1}{2}}{x}\leq{0}\).

Określamy dziedzinę nierówności. Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek \(x>0\).

Teraz liczbę 0 należy wyrazić poprzez logarytm o podstawie \(\frac{1}{2}\) (\(0=\log_{\frac{1}{2}}1\)) i ponieważ podstawa logarytmów jest mniejsza od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, ale wymagana jest zmiana zwrotu nierówności.

\(\log_{\frac{1}{2}}{x}\leq{0}\)

\(\log_{\frac{1}{2}}{x}\leq{\log_{\frac{1}{2}}{1}}\)

\(x\geq{1}\)

Wszystkie rozwiązania należą do dziedziny nierówności.

Odpowiedź: \(x\in \langle 1;+\infty)\).

W osobnym artykule pokazujemy jak rozwiązujemy równania logarytmiczne.