Zadanie - nierówność logarytmiczna

Rozwiązanie zadania uproszczone
Określamy dziedzinę nierówności.





Wartości funkcji logarytmicznej rosną przy malejących argumentach funkcji; mamy do czynienia z funkcją malejącą, więc:






Rozwiązaniem układu równań jest zbiór

Uwzględniamy dziedzinę nierówności logarytmicznej:

Rozwiązaniem nierówności


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Najpierw określamy dziedzinę naszej nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny.
Zgodnie z definicją logarytmu podstawa logarytmu musi być większa od zera oraz różna od jedności. Ponadto mianownik ułamka musi być różny od zera. Mamy więc trzy warunki:

W pierwszej nierówności mamy ułamek. Ponieważ w liczniku jest liczba 2, to aby cały ułamek był dodatni, mianownik musi być większy od zera. Przekształcamy też pozostałe zdania.

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru. Możemy więc napisać:

Zatem dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór:

W tym zbiorze będziemy szukać rozwiązań nierówności logarytmicznej
Liczbę zero możemy wyrazić w postaci logarytmu o takiej samej podstawie, jak podstawa logarytmu po lewej stronie nierówności. Dowolna liczba z zakresu dziedziny nierówności podniesiona do zerowej potęgi będzie równa jedności.

Dla ułatwienia rozumowania ustawmy logarytmy tak, aby ich wartości rosły.

Widzimy teraz, że wartości funkcji logarytmicznej rosną (drugi logarytm jest większy od pierwszego), natomiast ponieważ 1>1/3 (argumenty funkcji maleją) mamy do czynienia z funkcją malejącą. Funkcja logarytmiczna jest malejąca, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności. Zatem możemy napisać, że:

Powyższy warunek lepiej zapisać w postaci układu nierówności i przekształcić nieco drugą nierówność:

W pierwszej nierówności mamy ułamek o dodatnim liczniku, który ma być większy od zera. Jest to możliwe tylko wówczas, gdy mianownik jest również większy od zera.
W drugiej nierówności iloraz możemy zastąpić iloczynem, gdyż znak działania nie ulegnie zmianie (jeśli pomnożymy dwie liczby, to otrzymamy taki sam znak, gdybyśmy je przez siebie podzielili)

Zajmijmy się teraz tylko drugą nierównością. Jest to nierówność kwadratowa, a wielomian drugiego stopnia jest już w postaci iloczynowej. Rozwiązanie otrzymujemy odczytując je z wykresu. Wykresem jest parabola, której ramiona są skierowane do góry (współczynnik a przy kwadracie niewiadomej jest dodatni - ze wzorów skróconego mnożenia mamy (x-1)(x+1)=x2-1) i przecina oś OX w dwóch miejscach zerowych: -1 i 1. Szukamy wartości funkcji większych od zera.

Zapisujemy więc w układzie rozwiązanie drugiej nierówności:

Rozwiązania układu szukamy na osi liczbowej jako części wspólnej zbiorów:

Rozwiązaniem układu równań jest zbiór

Rozwiązanie nierówności logarytmicznej otrzymamy dopiero po uwzględnieniu w powyższym rozwiązaniu wyników zgodnych z dziedziną nierówności. Szukamy więc części wspólnej powyższego zbioru oraz dziedziny nierówności logarytmicznej:

Odpowiedź

jest zbiór

© medianauka.pl, 2009-12-21, ZAD-439
Zadania podobne

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność wykładniczą

Pokaż rozwiązanie zadania