Nauka » Matematyka » Nierówność logarytmiczna

Zadanie - nierówność logarytmiczna

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.
$\begin{cases} \frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}\neq 1 \\ x+1\neq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x+1>0 \\ \frac{2}{x+1}-1\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x>-1 \\ \frac{2}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x>-1 \\ \frac{2-x-1}{x+1}\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x>-1 \\ \frac{1-x}{x+1}\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases}$
$\begin{cases} x>-1 \\ 1-x\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x>-1 \\ x\neq 1 \\ x\neq -1 \end{cases}$
$x\in (-1;1)\cup (1;+\infty)$

$\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0 \\ \log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>\log_{\frac{2}{x+1}}{1}$
$\log_{\frac{2}{x+1}}{1}<\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}$

Wartości funkcji logarytmicznej rosną przy malejących argumentach funkcji; mamy do czynienia z funkcją malejącą, więc:

$0<\frac{2}{x+1}<1$
$\begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}<1\end{cases} \\ \begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}-1<0\end{cases} \\ \begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}<0\end{cases} \\ \begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{1-x}{x+1}<0\end{cases}$
$\begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{1-x}{x+1}<0\end{cases} \\ \begin{cases}x+1>0 \\ (1-x)(x+1)<0\end{cases} \\ \begin{cases}x>-1 \\ -(x-1)(x+1)<0/\cdot(-1)\end{cases} \\ \begin{cases}x>-1 \\ (x-1)(x+1)>0\end{cases}$
Wykres pomocniczy

$\begin{cases}x>-1 \\ x\in(-\infty;-1)\cup (1;\infty) \end{cases}$
rysunek pomocniczy

Rozwiązaniem układu równań jest zbiór

$x\in (1;\infty)$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności logarytmicznej:

Rozwiązaniem nierówności $\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0$ jest zbiór $x\in (1;+\infty)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Najpierw określamy dziedzinę naszej nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Zgodnie z definicją logarytmu podstawa logarytmu musi być większa od zera oraz różna od jedności. Ponadto mianownik ułamka musi być różny od zera. Mamy więc trzy warunki:

$\begin{cases} \frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}\neq 1 \\ x+1\neq 0 \end{cases}$

W pierwszej nierówności mamy ułamek. Ponieważ w liczniku jest liczba 2, to aby cały ułamek był dodatni, mianownik musi być większy od zera. Przekształcamy też pozostałe zdania.

$\begin{cases} x+1>0 \\ \frac{2}{x+1}-1\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x>-1 \\ \frac{2}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x>-1 \\ \frac{2-x-1}{x+1}\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x>-1 \\ \frac{1-x}{x+1}\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases}$

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru. Możemy więc napisać:

$\begin{cases} x>-1 \\ 1-x\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x>-1 \\ x\neq 1 \\ x\neq -1 \end{cases}$

Zatem dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór:

$x\in (-1;1)\cup (1;+\infty)$

W tym zbiorze będziemy szukać rozwiązań nierówności logarytmicznej

Liczbę zero możemy wyrazić w postaci logarytmu o takiej samej podstawie, jak podstawa logarytmu po lewej stronie nierówności. Dowolna liczba z zakresu dziedziny nierówności podniesiona do zerowej potęgi będzie równa jedności.

$\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0 \\ \log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>\log_{\frac{2}{x+1}}{1}$

Dla ułatwienia rozumowania ustawmy logarytmy tak, aby ich wartości rosły.

$\log_{\frac{2}{x+1}}{1}<\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}$

Widzimy teraz, że wartości funkcji logarytmicznej rosną (drugi logarytm jest większy od pierwszego), natomiast ponieważ 1>1/3 (argumenty funkcji maleją) mamy do czynienia z funkcją malejącą. Funkcja logarytmiczna jest malejąca, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności. Zatem możemy napisać, że:

$0<\frac{2}{x+1}<1$

Powyższy warunek lepiej zapisać w postaci układu nierówności i przekształcić nieco drugą nierówność:

$\begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}<1\end{cases} \\ \begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}-1<0\end{cases} \\ \begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}<0\end{cases} \\ \begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{1-x}{x+1}<0\end{cases}$

W pierwszej nierówności mamy ułamek o dodatnim liczniku, który ma być większy od zera. Jest to możliwe tylko wówczas, gdy mianownik jest również większy od zera.
W drugiej nierówności iloraz możemy zastąpić iloczynem, gdyż znak działania nie ulegnie zmianie (jeśli pomnożymy dwie liczby, to otrzymamy taki sam znak, gdybyśmy je przez siebie podzielili)

$\begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{1-x}{x+1}<0\end{cases} \\ \begin{cases}x+1>0 \\ (1-x)(x+1)<0\end{cases} \\ \begin{cases}x>-1 \\ -(x-1)(x+1)<0/\cdot(-1)\end{cases} \\ \begin{cases}x>-1 \\ (x-1)(x+1)>0\end{cases}$

Zajmijmy się teraz tylko drugą nierównością. Jest to nierówność kwadratowa, a wielomian drugiego stopnia jest już w postaci iloczynowej. Rozwiązanie otrzymujemy odczytując je z wykresu. Wykresem jest parabola, której ramiona są skierowane do góry (współczynnik a przy kwadracie niewiadomej jest dodatni - ze wzorów skróconego mnożenia mamy (x-1)(x+1)=x²-1) i przecina oś OX w dwóch miejscach zerowych: -1 i 1. Szukamy wartości funkcji większych od zera.

Zapisujemy więc w układzie rozwiązanie drugiej nierówności:

$\begin{cases}x>-1 \\ x\in(-\infty;-1)\cup (1;\infty) \end{cases}$

Rozwiązania układu szukamy na osi liczbowej jako części wspólnej zbiorów:

Rozwiązaniem układu równań jest zbiór

$x\in (1;+\infty)$

Rozwiązanie nierówności logarytmicznej otrzymamy dopiero po uwzględnieniu w powyższym rozwiązaniu wyników zgodnych z dziedziną nierówności. Szukamy więc części wspólnej powyższego zbioru oraz dziedziny nierówności logarytmicznej:

Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności $\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0$
jest zbiór $x\in (1;+\infty)$

Zadania podobne

Zadanie - nierówność logarytmiczna
Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną
Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{x}{3}<0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną
Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność logarytmiczna
Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność wykładnicza
Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{5^x}{5}\leq 7$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.