Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną

Rozwiązanie zadania uproszczone
Określamy dziedzinę nierówności.
Rozwiązujemy nierówność:







Uwzględniając dziedzinę nierówności logarytmicznej mamy:

Rozwiązaniem nierówności


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
W pierwszej kolejności określamy dziedzinę nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Zgodnie z definicją logarytmu, wartość logarytmowana (w naszej nierówności jest to zmienna x) musi być większa od zera. Mamy tutaj też ułamek, więc mianownik musi być różny od zera. Mamy więc:



Rozwiązań nierówności logarytmicznej będziemy szukać tylko w zbiorze określonym powyżej.
Możemy przystąpić do rozwiązania nierówności:
Zastosujemy tutaj podstawienie:

Zauważmy, że zmieniła się dziedzina nierówności, gdyż t nie może przyjmować wartości -1, gdyż mianownik wówczas jest równy zeru. Możemy iloraz zastąpić iloczynem, gdyż znak wyniku działania w obu przypadkach jest taki sam (jeżeli na przykład mamy dwie liczby ujemne, to gdy je pomnożymy lub podzielimy przez siebie, to zawsze otrzymamy liczbę dodatnią). Możemy więc zapisać, że

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową i to w postaci iloczynowej. Rozwiązanie możemy odczytać z wykresu. Mamy dwa pierwiastki: -1 i 1, ramiona paraboli skierowane są w górę i szukamy wartości funkcji większych lub mniejszych od zera oraz równych zeru


Otrzymaliśmy rozwiązanie, ale ze względu na zmienną t. Musimy jednak powrócić do zmiennej x. W tym celu powyższe rozwiązanie zapiszemy jako:

Znak ∨ możemy zastąpić słowem "lub"
Nie jest to jednak rozwiązanie nierówności , ponieważ należy pamiętać o dziedzinie tej nierówności. Z powyższego rozwiązania należy wykluczyć liczbę -1, dla której ułamek nie ma sensu matematycznego. Zmieniamy więc jedną z nierówności na ostrą.

Dopiero teraz można wrócić do zmiennej x:

Zamieniamy liczby -1 i 1 na logarytmy o podstawach 1/2:

Ponieważ podstawa logarytmu 0<1/2<1, to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie. Możemy więc zapisać:

W powyższym rozwiązaniu musimy jeszcze uwzględnić dziedzinę nierówności logarytmicznej: . Zaznaczmy wszystkie zbiory na osi liczbowej (kolorem pomarańczowym zaznaczono dziedzinę nierówności):

Część wspólna tych zbiorów to rozwiązanie naszej nierówności logarytmicznej.
Odpowiedź


© medianauka.pl, 2009-12-19, ZAD-437
Zadania podobne

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność wykładniczą

Pokaż rozwiązanie zadania