Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Zgodnie z definicją logarytmu, wartość logarytmowana (w naszej nierówności jest to zmienna \(x\)) musi być większa od zera. Mamy tutaj też ułamek, więc mianownik musi być różny od zera. Mamy więc:

\(\begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ 1+\log_{\frac{1}{2}}{x}\neq 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ \log_{\frac{1}{2}}{x}\neq -1 \end{cases}\)

\(\begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ \log_{\frac{1}{2}}{x}\neq \log_{\frac{1}{2}}{2} \end{cases}\)

\(\begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ x\neq 2 \end{cases}\)

x\(\in (0;2)\cup (2;+\infty)\)

Rozwiązań nierówności logarytmicznej będziemy szukać tylko w zbiorze określonym powyżej.

Możemy przystąpić do rozwiązania nierówności:

Zastosujemy tutaj podstawienie:

\(\log_{\frac{1}{2}}{x}=t\)

\(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\)

\(\frac{4t}{1+t}\geq 2\)

\(\frac{4t}{1+t}-2\geq 0\)

\(\frac{4t}{1+t}-\frac{2(1+t)}{1+t}\geq 0\)

\(\frac{4t}{1+t}-\frac{2+2t}{1+t}\geq 0\)

\(\frac{4t-2-2t}{1+t}\geq 0\)

\(\frac{2t-2}{1+t}\geq 0\)

Zauważmy, że zmieniła się dziedzina nierówności, gdyż \(t\) nie może przyjmować wartości \(-1\), gdyż mianownik wówczas jest równy zeru. Możemy iloraz zastąpić iloczynem, gdyż znak wyniku działania w obu przypadkach jest taki sam (jeżeli na przykład mamy dwie liczby ujemne, to gdy je pomnożymy lub podzielimy przez siebie, to zawsze otrzymamy liczbę dodatnią). Możemy więc zapisać, że

\((2t-2)(1+t)\geq 0\)

\(2(t-1)(1+t)\geq 0/:2\)

\((t-1)(t+1)\geq 0\)

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową i to w postaci iloczynowej. Rozwiązanie możemy odczytać z wykresu. Mamy dwa pierwiastki: \(-1\) i \(1\), ramiona paraboli skierowane są w górę i szukamy wartości funkcji większych lub mniejszych od zera oraz równych zeru.

Wykres pomocniczy

\(t\in(-\infty;-1\rangle\cup \langle 1;+\infty)\)

Otrzymaliśmy rozwiązanie, ale ze względu na zmienną \(t\). Musimy jednak powrócić do zmiennej \(x\). W tym celu powyższe rozwiązanie zapiszemy jako:

\(t\leq -1 \vee t\geq 1\)

Znak \(\vee\) możemy zastąpić słowem "lub".

Nie jest to jednak rozwiązanie nierówności \(\frac{4t}{1+t}\geq 2\), ponieważ należy pamiętać o dziedzinie tej nierówności. Z powyższego rozwiązania należy wykluczyć liczbę \(-1\), dla której ułamek nie ma sensu matematycznego. Zmieniamy więc jedną z nierówności na ostrą.

\(t<-1 \vee t\geq 1\)

Dopiero teraz można wrócić do zmiennej \(x\):

\(\log_{\frac{1}{2}}{x}<-1 \vee \log_{\frac{1}{2}}{x}\geq 1\)

Zamieniamy liczby \(-1\) i \(1\) na logarytmy o podstawach \(\frac{1}{2}\):

\(\log_{\frac{1}{2}}{x}< \log_{\frac{1}{2}}{2} \vee \log_{\frac{1}{2}}{x}\geq \log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\)

Ponieważ podstawa logarytmu \(0<1/2<1\), to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie. Możemy więc zapisać:

\(x>2 \vee x\leq \frac{1}{2}\)

W powyższym rozwiązaniu musimy jeszcze uwzględnić dziedzinę nierówności logarytmicznej: \(x\in (0;2)\cup (2;+\infty)\). Zaznaczmy wszystkie zbiory na osi liczbowej (kolorem pomarańczowym zaznaczono dziedzinę nierówności):

oś liczbowa, przedziały, rysunek pomocniczy

Część wspólna tych zbiorów to rozwiązanie naszej nierówności logarytmicznej.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1 +\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\) jest zbiór \((0;\frac{1}{2}\rangle \cup(2;+\infty)\).

© medianauka.pl, 2009-12-19, ZAD-437

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{x}{3}<0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{5^x}{5}\leq 7\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.