Strona główna » Matematyka » Nierówność logarytmiczna

Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.
$\begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ 1+\log_{\frac{1}{2}}{x}\neq 0 \end{cases} \\ \begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ \log_{\frac{1}{2}}{x}\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ \log_{\frac{1}{2}}{x}\neq \log_{\frac{1}{2}}{2} \end{cases} \\ \begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ x\neq 2 \end{cases} \\ x\in (0;2)\cup (2;+\infty)$

Rozwiązujemy nierówność:
$\log_{\frac{1}{2}}{x}=t \\ \frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2 \\ \frac{4t}{1+t}\geq 2 \\ t\neq -1 \\ \frac{4t}{1+t}-2\geq 0 \\ \frac{4t}{1+t} - \frac{2(1+t)}{1+t}\geq 0 \\ \frac{4t}{1+t} - \frac{2+2t}{1+t}\geq 0 \\ \frac{4t-2-2t}{1+t}\geq 0 \\ \frac{2t-2}{1+t}\geq 0$
$(2t-2)(1+t)\geq 0 \\ 2(t-1)(1+t)\geq 0/:2 \\ (t-1)(t+1)\geq 0$
wykres pomocniczy

$t< -1 \ \vee \ t\geq 1$
$\log_{\frac{1}{2}}{x}< -1 \ \vee \ \log_{\frac{1}{2}}{x}\geq 1$
$\log_{\frac{1}{2}}{x}< \log_{\frac{1}{2}}{2} \ \vee \ \log_{\frac{1}{2}}{x}\geq \log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$
$x>2 \ \vee \ x\leq \frac{1}{2}$

Uwzględniając dziedzinę nierówności logarytmicznej mamy:

oś liczbowa, przedziały, rysunek pomocniczy

Rozwiązaniem nierówności $\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2$ jest zbiór $(0;\frac{1}{2}\rangle \cup(2;+\infty)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Zgodnie z definicją logarytmu, wartość logarytmowana (w naszej nierówności jest to zmienna x) musi być większa od zera. Mamy tutaj też ułamek, więc mianownik musi być różny od zera. Mamy więc:

$\begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ 1+\log_{\frac{1}{2}}{x}\neq 0 \end{cases} \\ \begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ \log_{\frac{1}{2}}{x}\neq -1 \end{cases} \\ \begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ \log_{\frac{1}{2}}{x}\neq \log_{\frac{1}{2}}{2} \end{cases} \\ \begin{cases}x\in (0;+\infty) \\ x\neq 2 \end{cases} \\ x\in (0;2)\cup (2;+\infty)$ tło

Rozwiązań nierówności logarytmicznej będziemy szukać tylko w zbiorze określonym powyżej.

Możemy przystąpić do rozwiązania nierówności:

Zastosujemy tutaj podstawienie:

$\log_{\frac{1}{2}}{x}=t \\ \frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2 \\ \frac{4t}{1+t}\geq 2 \\ \frac{4t}{1+t}-2\geq 0 \\ \frac{4t}{1+t} - \frac{2(1+t)}{1+t}\geq 0 \\ \frac{4t}{1+t} - \frac{2+2t}{1+t}\geq 0 \\ \frac{4t-2-2t}{1+t}\geq 0 \\ \frac{2t-2}{1+t}\geq 0$

Zauważmy, że zmieniła się dziedzina nierówności, gdyż t nie może przyjmować wartości -1, gdyż mianownik wówczas jest równy zeru. Możemy iloraz zastąpić iloczynem, gdyż znak wyniku działania w obu przypadkach jest taki sam (jeżeli na przykład mamy dwie liczby ujemne, to gdy je pomnożymy lub podzielimy przez siebie, to zawsze otrzymamy liczbę dodatnią). Możemy więc zapisać, że

$(2t-2)(1+t)\geq 0 \\ 2(t-1)(1+t)\geq 0/:2 \\ (t-1)(t+1)\geq 0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową i to w postaci iloczynowej. Rozwiązanie możemy odczytać z wykresu. Mamy dwa pierwiastki: -1 i 1, ramiona paraboli skierowane są w górę i szukamy wartości funkcji większych lub mniejszych od zera oraz równych zeru

$t\in(-\infty;-1\rangle\cup \langle 1;+\infty)$

Otrzymaliśmy rozwiązanie, ale ze względu na zmienną t. Musimy jednak powrócić do zmiennej x. W tym celu powyższe rozwiązanie zapiszemy jako:

Znak ∨ możemy zastąpić słowem "lub"

Nie jest to jednak rozwiązanie nierówności $\frac{4t}{1+t}\geq 2$ , ponieważ należy pamiętać o dziedzinie tej nierówności. Z powyższego rozwiązania należy wykluczyć liczbę -1, dla której ułamek nie ma sensu matematycznego. Zmieniamy więc jedną z nierówności na ostrą.

$\frac{4t}{1+t}\geq 2$

Dopiero teraz można wrócić do zmiennej x:

$\log_{\frac{1}{2}}{x}< -1 \ \vee \ \log_{\frac{1}{2}}{x}\geq 1$

Zamieniamy liczby -1 i 1 na logarytmy o podstawach 1/2:

$\log_{\frac{1}{2}}{x}< \log_{\frac{1}{2}}{2} \ \vee \ \log_{\frac{1}{2}}{x}\geq \log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$

Ponieważ podstawa logarytmu 0<1/2<1, to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie. Możemy więc zapisać:

$x>2 \ \vee \ x\leq \frac{1}{2}$

W powyższym rozwiązaniu musimy jeszcze uwzględnić dziedzinę nierówności logarytmicznej: $x\in (0;2)\cup (2;+\infty)$ . Zaznaczmy wszystkie zbiory na osi liczbowej (kolorem pomarańczowym zaznaczono dziedzinę nierówności):