Nauka » Matematyka » Nierówność logarytmiczna

Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{x}{3}<0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.

$x\in (0;1)\cup(1;+\infty)$

$\log_{x}{3}< 0 \\ \log_{x}{3}< \log_{x}{1}$
Gdy wartości funkcji logarytmicznej rosną, argumenty funkcji maleją - mamy do czynienia z funkcją malejącą. Zatem możemy napisać z uwzględnieniem dziedziny nierówności, że rozwiązaniem nierówności $\log_{x}{3}<0$ jest zbiór (0;1)

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dziedzina

Zanim przystąpimy do rozwiązania nierówności logarytmicznej określimy jej dziedzinę, czyli zbiór wszystkich takich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Zgodnie z definicją logarytmu, jego podstawa musi być większa od zera i różna od jedności. Mamy więc warunek, który stanowi dziedzinę naszej nierówności:

$x\in (0;1)\cup(1;+\infty)$

Przystępujemy do rozwiązania nierówności logarytmicznej.

Aby rozwiązać nierówność trzeba liczbę 0 wyrazić za pomocą logarytmu o podstawie x:

$\log_{x}{3}< 0 \\ \log_{x}{3}< \log_{x}{1}$

Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Gdy popatrzymy na zwrot nierówności, to widzimy, że wartości funkcji logarytmicznej rosną (drugi logarytm jest większy od pierwszego), natomiast ponieważ 3>1 (argumenty funkcji maleją) mamy do czynienia z funkcją malejącą. Funkcja logarytmiczna jest malejąca, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności. Zatem musimy napisać, że:

$x\in (0;1)$

Uwzględniając dziedzinę nierówności (szukamy części wspólnej obu zbiorów) otrzymujemy rozwiązanie:

(Zobacz też przykłady z artykułu o nierównościach logarytmicznych), jeżeli masz kłopot ze zrozumieniem powyższego toku myślenia.

Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności $\log_{x}{3}<0$ jest zbiór (0;1)

Zadania podobne

Zadanie - nierówność logarytmiczna
Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną
Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność logarytmiczna
Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność logarytmiczna
Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność wykładnicza
Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{5^x}{5}\leq 7$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.