Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{x}{3}<0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dziedzina

Zanim przystąpimy do rozwiązania nierówności logarytmicznej, określimy jej dziedzinę, czyli zbiór wszystkich takich wartości \(x\), dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Zgodnie z definicją logarytmu, jego podstawa musi być większa od zera i różna od jedności. Mamy więc warunek, który stanowi dziedzinę naszej nierówności:

\(x\in (0;1)\cup(1;+\infty)\)

Przystępujemy do rozwiązania nierówności logarytmicznej.

Aby rozwiązać nierówność trzeba liczbę \(0\) wyrazić za pomocą logarytmu o podstawie \(x\):

\(\log_{x}{3}<0\)

\(\log_{x}{3}< \log_{x}{1}\)

Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Gdy popatrzymy na zwrot nierówności, to widzimy, że wartości funkcji logarytmicznej rosną (drugi logarytm jest większy od pierwszego), natomiast ponieważ \(3>1\) (argumenty funkcji maleją) mamy do czynienia z funkcją malejącą. Funkcja logarytmiczna jest malejąca, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności. Zatem musimy napisać, że:

\(x\in (0;1)\)

Uwzględniając dziedzinę nierówności (szukamy części wspólnej obu zbiorów) otrzymujemy rozwiązanie:

(Zobacz też przykłady z artykułu o nierównościach logarytmicznych), jeżeli masz kłopot ze zrozumieniem powyższego toku myślenia.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \(\log_{x}{3}<0\) jest zbiór \((0;1)\).

© medianauka.pl, 2009-12-16, ZAD-436

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{5^x}{5}\leq 7\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.