Nauka » Matematyka » Nierówność logarytmiczna

Zadanie - nierówność wykładnicza

Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{5^x}{5}\leq 7$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{5^x}{5}\leq 7/\cdot 5 \\ 5^x\leq 35 \\ 5^x\leq 5^{\log_{5}{35}} \\ x\leq \log_{5}{35}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać nierówność wykładniczą trzeba tak ją przekształcić, aby po obu jej stronach znalazły się potęgi o jednakowych podstawach.

Przekształćmy więc nieco naszą nierówność:

$\frac{5^x}{5}\leq 7/\cdot 5 \\ 5^x\leq 35$

Aby rozwiązać tę nierówność musimy doprowadzić liczbę 35 do postaci potęgi o podstawie 5. Nie jest to łatwe zadanie. Musimy skorzystać z jednej z własności logarytmów:

$a=b^{\log_{b}{a}}$

Możemy więc napisać:

$5^x\leq 35 \\ 5^x\leq 5^{\log_{5}{35}}$

Podstawa potęgi jest większa od jedności, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji. Możemy zapisać bez zmiany zwrotu nierówności:

$5^x\leq 5^{\log_{5}{35}} \\ x\leq \log_{5}{35}$