Zadanie - nierówność logarytmiczna

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których nierówność ma sens matematyczny.

Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość zmiennej \(x^2\). Zatem:

\(x^2>0\)

Ponieważ mamy do czynienia z nierównością kwadratową, jej rozwiązanie odczytamy z wykresu:

rysunek pomocniczy

Zatem dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace\).

Aby rozwiązać nierówność trzeba liczbę \(1\) wyrazić za pomocą logarytmu o podstawie \(\frac{1}{3}\):

\(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\)

\(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}\)

Ponieważ podstawa logarytmu \(0<\frac{1}{3}<1\), to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie. Możemy więc zapisać:

\(x^2\leq \frac{1}{3}\)

\(x^2-\frac{1}{3}\leq 0\)

\((x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})\leq 0\)

W ostatnim kroku wykorzystaliśmy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Doprowadziliśmy dwumian kwadratowy do postaci iloczynowej. Mamy dwa pierwiastki, wykres dwumianu kwadratowego przecina więc oś w dwóch punktach. Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (równy jedności), więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy (zgodnie ze zwrotem nierówności) wartości mniejszych lub równych zero.

rysunek pomocniczy

\(x\in(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}})\)

Ponieważ dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, z powyższego przedziału musimy jeszcze wyeliminować liczbę \(0\), dla której nierówność nie ma sensu matematycznego.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\) jest zbiór \((-\frac{1}{\sqrt{3}};0)\cup (0;\frac{1}{\sqrt{3}})\).

© medianauka.pl, 2009-12-15, ZAD-435

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{x}{3}<0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{5^x}{5}\leq 7\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.