Zadanie - nierówność logarytmiczna
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).
Rozwiązanie zadania uproszczone
Określamy dziedzinę nierówności.

Dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór R\{0}.




Uwzględniając dziedzinę nierówności otrzymujemy rozwiązanie nierówności


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
W pierwszej kolejności określamy dziedzinę nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność ma sens matematyczny.
Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość zmiennej x2. Zatem:

Ponieważ mamy do czynienia z nierównością kwadratową, jej rozwiązanie odczytamy z wykresu:

Aby rozwiązać nierówność trzeba liczbę 1 wyrazić za pomocą logarytmu o podstawie 1/3:

Ponieważ podstawa logarytmu 0<1/3<1, to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie. Możemy więc zapisać:

W ostatnim kroku wykorzystaliśmy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: a2-b2=(a-b)(a+b). Doprowadziliśmy dwumian kwadratowy do postaci iloczynowej. Mamy dwa pierwiastki, wykres dwumianu kwadratowego przecina więc oś w dwóch punktach. Współczynnik przy x2 jest dodatni (równy jedności), więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy (zgodnie ze zwrotem nierówności) wartości mniejszych lub równych zero.


Ponieważ dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, z powyższego przedziału musimy jeszcze wyeliminować liczbę 0, dla której nierówność nie ma sensu matematycznego.
Odpowiedź


© medianauka.pl, 2009-12-15, ZAD-435
Zadania podobne

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{x}{3}<0\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{5^x}{5}\leq 7\).
Pokaż rozwiązanie zadania