Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - nierówność logarytmiczna


Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.
x^2>0
rysunek pomocniczy
Dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór R\{0}.
\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}
x^2\leq \frac{1}{3} \\ x^2-\frac{1}{3}\leq 0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})\leq0
rysunek pomocniczy

x\in(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}})

Uwzględniając dziedzinę nierówności otrzymujemy rozwiązanie nierówności \log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1 jest zbiór(-\frac{1}{\sqrt{3}};0)\cup (0;\frac{1}{\sqrt{3}})

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność ma sens matematyczny.

Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość zmiennej x2. Zatem:

x^2>0

Ponieważ mamy do czynienia z nierównością kwadratową, jej rozwiązanie odczytamy z wykresu:
rysunek pomocniczy
Zatem dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór R\{0}.

Aby rozwiązać nierówność trzeba liczbę 1 wyrazić za pomocą logarytmu o podstawie 1/3:

\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}

Ponieważ podstawa logarytmu 0<1/3<1, to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie. Możemy więc zapisać:

x^2\leq \frac{1}{3} \\ x^2-\frac{1}{3}\leq 0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})\leq0

W ostatnim kroku wykorzystaliśmy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: a2-b2=(a-b)(a+b). Doprowadziliśmy dwumian kwadratowy do postaci iloczynowej. Mamy dwa pierwiastki, wykres dwumianu kwadratowego przecina więc oś w dwóch punktach. Współczynnik przy x2 jest dodatni (równy jedności), więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy (zgodnie ze zwrotem nierówności) wartości mniejszych lub równych zero.

rysunek pomocniczy
x\in(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}})

Ponieważ dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, z powyższego przedziału musimy jeszcze wyeliminować liczbę 0, dla której nierówność nie ma sensu matematycznego.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1 jest zbiór (-\frac{1}{\sqrt{3}};0)\cup (0;\frac{1}{\sqrt{3}})

© medianauka.pl, 2009-12-15, ZAD-435


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.