Nauka » Matematyka » Nierówność logarytmiczna

Zadanie - nierówność logarytmiczna

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1$.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.

Dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór R\{0}.

$\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$
$x^2\leq \frac{1}{3} \\ x^2-\frac{1}{3}\leq 0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})\leq0$
rysunek pomocniczy

$x\in(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}})$

Uwzględniając dziedzinę nierówności otrzymujemy rozwiązanie nierówności $\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1$ jest zbiór $(-\frac{1}{\sqrt{3}};0)\cup (0;\frac{1}{\sqrt{3}})$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność ma sens matematyczny.

Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość zmiennej x². Zatem:

Ponieważ mamy do czynienia z nierównością kwadratową, jej rozwiązanie odczytamy z wykresu:

Zatem dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór R\{0}.

Aby rozwiązać nierówność trzeba liczbę 1 wyrazić za pomocą logarytmu o podstawie 1/3:

$\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$

Ponieważ podstawa logarytmu 0<1/3<1, to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie. Możemy więc zapisać:

$x^2\leq \frac{1}{3} \\ x^2-\frac{1}{3}\leq 0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})\leq0$

W ostatnim kroku wykorzystaliśmy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: a²-b²=(a-b)(a+b). Doprowadziliśmy dwumian kwadratowy do postaci iloczynowej. Mamy dwa pierwiastki, wykres dwumianu kwadratowego przecina więc oś w dwóch punktach. Współczynnik przy x² jest dodatni (równy jedności), więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy (zgodnie ze zwrotem nierówności) wartości mniejszych lub równych zero.

$x\in(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}})$

Ponieważ dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, z powyższego przedziału musimy jeszcze wyeliminować liczbę 0, dla której nierówność nie ma sensu matematycznego.

Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności $\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1$ jest zbiór $(-\frac{1}{\sqrt{3}};0)\cup (0;\frac{1}{\sqrt{3}})$

Zadania podobne

Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{x}{3}<0$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność logarytmiczna

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność logarytmiczna

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność wykładnicza

Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{5^x}{5}\leq 7$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.