Zadanie - nierówność logarytmiczna

Rozwiązanie zadania uproszczone
Określamy dziedzinę nierówności.


![x^3-\frac{1}{5}\leq 0 \\ x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0](matematyka/wzory/zad48/5.gif)
![(x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}})[x^2+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}x+(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^2]\leq 0 \\ x_1=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}](matematyka/wzory/zad48/6.gif)
x | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | - | 0 | + |
![x\in (-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle](matematyka/wzory/zad48/11.gif)
Uwzględniamy dziedzinę nierówności logarytmicznej:

Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej

![(0;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle](matematyka/wzory/zad48/12.gif)
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Określamy dziedzinę danej nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny.
Zgodnie z definicją logarytmu, wartość logarytmowana (w naszej nierówności jest to zmienna x) musi być większa od zera.

Rozwiązań nierówności logarytmicznej będziemy szukać tylko w zbiorze określonym powyżej.
W pierwszej kolejności musimy doprowadzić wszystkie logarytmy do takiej postaci, aby miały jednakową podstawę. Skorzystamy przy tym ze wzoru:

Zgodnie z powyższym mamy:





Dla wyjaśnienia:
W dalszej części skorzystamy ze wzoru:






Ponieważ podstawa logarytmu 3>1, to funkcja logarytmiczna jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji. Możemy więc zapisać:
![x^3-\frac{1}{5}\leq 0 \\ x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0](matematyka/wzory/zad48/5.gif)
Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian możemy rozłożyć na czynniki, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

gdzie a i b oznaczają . Mamy więc:
![x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}})[x^2+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}x+(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^2]\leq 0 \\ x_1=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}](matematyka/wzory/zad48/18.gif)
Mamy tylko jeden pierwiastek. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:
x | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | - | 0 | + |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału , niech to będzie 0 i podstawmy do czynnika wielomianu za x i otrzymujemy wynik ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)
Ponieważ szukamy wartości mniejszych lub równych zero, rozwiązanie nierówności algebraicznej jest następujące:
![x\in (-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle](matematyka/wzory/zad48/11.gif)
Uwzględniając dziedzinę nierówności logarytmicznej (przedział zaznaczony na pomarańczowo) otrzymamy rozwiązanie nierówności logarytmicznej. Szukamy części wspólnej obu zbiorów na osi liczbowej.

Odpowiedź

![(0;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle](matematyka/wzory/zad48/12.gif)
© medianauka.pl, 2009-12-20, ZAD-438
Zadania podobne

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność logarytmiczną

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność wykładniczą

Pokaż rozwiązanie zadania