Nauka » Matematyka » Nierówność logarytmiczna

Zadanie - nierówność logarytmiczna

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}$.

Rozwiązanie zadania

Określamy dziedzinę danej nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości $x$, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Zgodnie z definicją logarytmu, wartość logarytmowana (w naszej nierówności jest to zmienna $x$) musi być większa od zera.

$x\in (0;+\infty)$

Rozwiązań nierówności logarytmicznej będziemy szukać tylko w zbiorze określonym powyżej.

W pierwszej kolejności musimy doprowadzić wszystkie logarytmy do takiej postaci, aby miały jednakową podstawę. Skorzystamy przy tym ze wzoru:

$\log_{a}{b}=\log_{a}{c}\cdot \log_{c}{b}$

Zgodnie z powyższym mamy:

tło $\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}$

$\log_{3}{x}+\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}$

$\log_{3}{x}+\frac{1}{2}\cdot \log_{3}{x}\leq -1\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}/\cdot 2$

$ 2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}$

Dla wyjaśnienia: $\log_{9}{3}=\frac{1}{2}$, bo $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3$, $\log_{\frac{1}{3}}{3}=-1$, bo $(\frac{1}{2})^{-1}=3$

W dalszej części skorzystamy ze wzoru:

$n\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}$

$2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}$

$3\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}$

$\log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{(\sqrt{5})^{-2}}$

$\log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{\frac{1}{5}}$

Ponieważ podstawa logarytmu $3>1$, to funkcja logarytmiczna jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji. Możemy więc zapisać:

$x^3-\frac{1}{5}\leq 0$

$x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0$

Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian możemy rozłożyć na czynniki, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Oznaczenia: $a$ i $b$ oznaczają $a=x, b=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$. Mamy więc:

$x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0$

$(x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}})[x^2+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}x+(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^2]\leq 0$

$x_1=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Mamy tylko jeden pierwiastek. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

$x$	$(-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}})$	$\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$	$(\frac{1}{\sqrt[3]{5}};\infty)$
$x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$	$-$	$0$	$+$

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału , niech to będzie 0 i podstawmy do czynnika wielomianu za $x$ i otrzymujemy wynik ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Ponieważ szukamy wartości mniejszych lub równych zero, rozwiązanie nierówności algebraicznej jest następujące:

$x\in (-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle$

Uwzględniając dziedzinę nierówności logarytmicznej (przedział zaznaczony na pomarańczowo) otrzymamy rozwiązanie nierówności logarytmicznej. Szukamy części wspólnej obu zbiorów na osi liczbowej.

rysunek pomocniczy