Nauka » Matematyka » Nierówność logarytmiczna

Zadanie - nierówność logarytmiczna

Rozwiązać nierówność logarytmiczną $\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.
$x\in (0;+\infty)$

$\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x}+\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x}+\frac{1}{2}\cdot \log_{3}{x}\leq -1\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}/\cdot 2 \\ 2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}$
$2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ 3\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{(\sqrt{5})^{-2}} \\ \log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{\frac{1}{5}}$
$x^3-\frac{1}{5}\leq 0 \\ x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0$
$(x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}})[x^2+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}x+(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^2]\leq 0 \\ x_1=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

x	$(-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}})$	$\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$	$(\frac{1}{\sqrt[3]{5}};\infty)$
$x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$	-	0	+

$x\in (-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności logarytmicznej:

Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej $\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}$ jest przedział $(0;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy dziedzinę danej nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Zgodnie z definicją logarytmu, wartość logarytmowana (w naszej nierówności jest to zmienna x) musi być większa od zera.

$x\in (0;+\infty)$

Rozwiązań nierówności logarytmicznej będziemy szukać tylko w zbiorze określonym powyżej.

W pierwszej kolejności musimy doprowadzić wszystkie logarytmy do takiej postaci, aby miały jednakową podstawę. Skorzystamy przy tym ze wzoru:

$\log_{a}{b}=\log_{a}{c}\cdot \log_{c}{b}$

Zgodnie z powyższym mamy:

Dla wyjaśnienia: $\log_{9}{3}=\frac{1}{2}, \ bo \ 9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3, \ \log_{\frac{1}{3}}{3}=-1, \ bo \ (\frac{1}{2})^{-1}=3$

W dalszej części skorzystamy ze wzoru:

$n\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}$

$2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ 3\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{(\sqrt{5})^{-2}} \\ \log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{\frac{1}{5}}$ tło

Ponieważ podstawa logarytmu 3>1, to funkcja logarytmiczna jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji. Możemy więc zapisać:

$x^3-\frac{1}{5}\leq 0 \\ x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0$

Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian możemy rozłożyć na czynniki, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

gdzie a i b oznaczają $a=x, \ b=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ . Mamy więc:

$x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}})[x^2+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}x+(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^2]\leq 0 \\ x_1=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Mamy tylko jeden pierwiastek. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x	$(-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}})$	$\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$	$(\frac{1}{\sqrt[3]{5}};\infty)$
$x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału , niech to będzie 0 i podstawmy do czynnika wielomianu za x i otrzymujemy wynik ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Ponieważ szukamy wartości mniejszych lub równych zero, rozwiązanie nierówności algebraicznej jest następujące:

$x\in (-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle$

Uwzględniając dziedzinę nierówności logarytmicznej (przedział zaznaczony na pomarańczowo) otrzymamy rozwiązanie nierówności logarytmicznej. Szukamy części wspólnej obu zbiorów na osi liczbowej.