Logo Serwisu Media Nauka


Nierówność algebraiczna

Definicja Definicja

Każdą nierówność w postaci:

W(x)>0\\W(x)<0\\W(x)\leq{0}\\W(x)\geq{0}

gdzie W(x) jest wielomianem niezerowym nazywamy nierównością algebraiczną lub nierównością n-tego stopnia lub nierównością wielomianową.

Przykład Przykład

Przykłady nierówności algebraicznych:
-5x^3+x-1\geq{0} - jest to nierówność 3-go stopnia,
-x^5+5x^2-x-\sqrt{7}>0 - jest to nierówność 5-go stopnia,
5x^2+7\leq{0} - jest to nierówność 2-go stopnia (kwadratowe),
x-1\geq{0} - jest to nierówność 1-go stopnia,

Teoria Stosujemy następujący schemat rozwiązywania nierówności algebraicznych:

  • szukamy pierwiastka a wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego,
  • Sprowadzamy wielomian do postaci iloczynowej,
  • Budujemy siatkę znaków,
  • Rozwiązanie odczytujemy z siatki znaków.

Oto kilka przykładów rozwiązań nierówności algebraicznych.

Przykład Przykład

Rozwiązać nierówność:
x(x+4)(x+1)(x-1)(x-2)<0

Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 pierwiastków: -4,-1, 0, 1, 2.
Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu.
W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x(-\infty;-4)-4(-4;-1)-1(-1;0)0(0;1)1(1;2)2(2;+\infty)
x-----0+++++
x+4-0+++++++++
x+1---0+++++++
x-1-------0+++
x-2---------0+
W(x)-0+0-0+0-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-\infty;-4), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera.

Odpowiedź: x\in(-\infty;-4)\cup(-1;0)\cup(1;2)

Przykład Przykład

Rozwiązać nierówność (x^4+1)(x-2)<0.
Czynnik x^4+1 jest zawsze dodatni, więc aby iloczyn dwóch czynników był ujemny jeden z nich musi być ujemny. Zatem x-2<0, czyli x<2.

Odpowiedź: x\in(-\infty;2)


© Media Nauka, 2009-08-18, ART-287



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 148 - Nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność:
a) x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0
b) x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0.

zadanie - ikonka Zadanie 150 - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność (x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0.

zadanie - ikonka Zadanie 151 - rozwiązać nierówność algebraiczną
Rozwiązać nierówność x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0

zadanie - ikonka Zadanie 152 - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność \frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0

zadanie - ikonka Zadanie 153 - nierówność algebraiczna
Rozwiąż nierówność: \frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0

zadanie - ikonka Zadanie 154 - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność: \frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1

zadanie - ikonka Zadanie 155 - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy