Zadanie - Nierówność algebraiczna


Rozwiązać nierówność:
a) x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0
b) x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0.

ksiązki Rozwiązanie szczegółowe

Podpunkt a)

Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 pierwiastków: -4,-3, 0, 1, 2. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x(-∞;-4)-4(-4;-3)-3(-3;0)0(0;1)1(1;2)2(2;+∞)
x-----0+++++
x+4-0+++++++++
x+3---0+++++++
x-1-------0+++
x-2---------0+
W(x)-0+0-0+0-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-4), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera, bądź równy zero.

Podpunkt b)

Z lewej strony nierówności znów mamy rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 tych samych pierwiastków: -4,-3, 0, 1, 2.

Sporządzamy siatkę znaków. Oto tabela:

x(-∞;-4)-4(-4;-3)-3(-3;0)0(0;1)1(1;2)2(2;+∞)
x2+++++0+++++
x+4-0+++++++++
(x+3)5---0+++++++
(x-1)4+++++++0+++
(x-2)2+++++++++0+
W(x)+0-0+0+0+0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-4), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x2 i otrzymujemy wynik 25, a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny (+1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (+1)\cdot (+1)=+1, więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera, bądź równy zero.

ksiązki Odpowiedź

a) x \in \langle -4; -3\rangle \cup \langle 0;1\rangle \cup \langle 2;+\infty)
b) x \in \langle -4; -3\rangle \cup \lbrace 0,1,2 \rbrace

© medianauka.pl, 2010-01-24, ZAD-538


Zadania podobne

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność (x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozwiązać nierówność algebraiczną
Rozwiązać nierówność x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność \frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiąż nierówność: \frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność: \frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.