Zadanie - Nierówność algebraiczna
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność:
a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),
b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).
Rozwiązanie zadania
Podpunkt a)
Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on \(5\) pierwiastków: \(-4,-3, 0, 1, 2\). Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:
\(x\)\((-\infty;-4)\)-4(-4;-3)-3(-3;0)0(0;1)1(1;2)2\((2;+\infty)\) \(x\)-----0+++++ \(x+4\)-0+++++++++ \(x+3\)---0+++++++ \(x-1\)-------0+++ \(x-2\)---------0+ \(W(x)\)-0+0-0+0-0+Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-4)\), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek (np. dla pierwszej kolumny \((-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1\), więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(W(x)\) jest większy od zera, bądź równy zero.
Podpunkt b)
Z lewej strony nierówności znów mamy rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 tych samych pierwiastków: \(-4,-3, 0, 1, 2\).
Sporządzamy siatkę znaków. Oto tabela:
\(x\)\((-\infty-4)\) -4(-4;-3)-3(-3;0)0(0;1)1(1;2)2\((2;+\infty)\) \(x^2\)+++++0+++++ \(x+4\)-0+++++++++ \((x+3)^5\)---0+++++++ \((x-1)^4\)+++++++0+++ \((x-2)^2\)+++++++++0+ \(W(x)\)+0-0+0+0+0+Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-4)\), niech to będzie \(-5\) i podstawmy do czynnika wielomianu \(x^2\) i otrzymujemy wynik \(25\), a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki).
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek (np. dla pierwszej kolumny \((+1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (+1)\cdot (+1)=+1\), więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(W(x)\) jest mniejszy od zera, bądź równy zero.
Odpowiedź
a) \(x \in \langle -4; -3\rangle \cup \langle 0;1\rangle \cup \langle 2;+\infty)\)b) \(x\in \langle -4; -3\rangle \cup \lbrace 0,1,2 \rbrace\)
© medianauka.pl, 2010-01-24, ZAD-538
Zadania podobne
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).