Strona główna » Matematyka » Nierówność algebraiczna (wielomianowa)

Zadanie - Nierówność algebraiczna

Rozwiązać nierówność:
a) $x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0$
b) $x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0$ .

Rozwiązanie szczegółowe

Podpunkt a)

Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 pierwiastków: -4,-3, 0, 1, 2. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x	(-∞;-4)	-4	(-4;-3)	-3	(-3;0)	0	(0;1)	1	(1;2)	2	(2;+∞)
x	-	-	-	-	-	0	+	+	+	+	+
x+4	-	0	+	+	+	+	+	+	+	+	+
x+3	-	-	-	0	+	+	+	+	+	+	+
x-1	-	-	-	-	-	-	-	0	+	+	+
x-2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	0	+
W(x)	-	0	+	0	-	0	+	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-4), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny $(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1$ , więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera, bądź równy zero.

Podpunkt b)

Z lewej strony nierówności znów mamy rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 tych samych pierwiastków: -4,-3, 0, 1, 2.

Sporządzamy siatkę znaków. Oto tabela:

x	(-∞;-4)	-4	(-4;-3)	-3	(-3;0)	0	(0;1)	1	(1;2)	2	(2;+∞)
x²	+	+	+	+	+	0	+	+	+	+	+
x+4	-	0	+	+	+	+	+	+	+	+	+
(x+3)⁵	-	-	-	0	+	+	+	+	+	+	+
(x-1)⁴	+	+	+	+	+	+	+	0	+	+	+
(x-2)²	+	+	+	+	+	+	+	+	+	0	+
W(x)	+	0	-	0	+	0	+	0	+	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-4), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x² i otrzymujemy wynik 25, a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny $(+1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (+1)\cdot (+1)=+1$ , więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera, bądź równy zero.