Zadanie - Nierówność algebraiczna
a)

b)

Rozwiązanie szczegółowe
Podpunkt a)
Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 pierwiastków: -4,-3, 0, 1, 2. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:
x | (-∞;-4) | -4 | (-4;-3) | -3 | (-3;0) | 0 | (0;1) | 1 | (1;2) | 2 | (2;+∞) |
x | - | - | - | - | - | 0 | + | + | + | + | + |
x+4 | - | 0 | + | + | + | + | + | + | + | + | + |
x+3 | - | - | - | 0 | + | + | + | + | + | + | + |
x-1 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | + | + | + |
x-2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | + |
W(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-4), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny , więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera, bądź równy zero.
Podpunkt b)
Z lewej strony nierówności znów mamy rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 tych samych pierwiastków: -4,-3, 0, 1, 2.
Sporządzamy siatkę znaków. Oto tabela:
x | (-∞;-4) | -4 | (-4;-3) | -3 | (-3;0) | 0 | (0;1) | 1 | (1;2) | 2 | (2;+∞) |
x2 | + | + | + | + | + | 0 | + | + | + | + | + |
x+4 | - | 0 | + | + | + | + | + | + | + | + | + |
(x+3)5 | - | - | - | 0 | + | + | + | + | + | + | + |
(x-1)4 | + | + | + | + | + | + | + | 0 | + | + | + |
(x-2)2 | + | + | + | + | + | + | + | + | + | 0 | + |
W(x) | + | 0 | - | 0 | + | 0 | + | 0 | + | 0 | + |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-4), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x2 i otrzymujemy wynik 25, a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki)
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny , więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera, bądź równy zero.
Odpowiedź

b)

© medianauka.pl, 2010-01-24, ZAD-538
Zadania podobne

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż nierówność:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność:

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

Pokaż rozwiązanie zadania

Liczba 2/5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=5x3−7x2−3x+p. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność W(x)>0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .
Pokaż rozwiązanie zadania