Zadanie maturalne nr 9, matura 2022 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).
Rozwiązanie zadania
Na podstawie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów możemy napisać:
\(W(-2)=-30\)
Obliczamy wartość wielomianu w punkcie -2:
\(4\cdot (-2)^3-6\cdot(-2)^2-(5m+1)\cdot (-2)-2m=-30)\)
\(4\cdot (-8)-6\cdot 4 + 10m+2-2m+30=0)\)
\(-32-24+8m+32=0\)
\(8m=24/:8\)
\(m=3\)
Otrzymujemy więc nierówność:
\(4x^3-6x^2-16x-6\geq0\)
Szukamy pierwiastków wielomianu spośród podzielników wyrazu wolnego:
\(W(1)=4-6-16-6\neq 0\)
\(W(-1)=-4-6+16-6=0\)
Liczba -1 jest pierwiastkiem naszego wielomianu. skorzystamy ze schematu Hornera:
| 4 | -6 | -16 | -6 | |
|---|---|---|---|---|
| -1 | 4 | -10 | -6 | 0 |
Nasza nierówność przyjmuje postać:
\((x+1)(4x^2-10x-6)\geq 0\)
\(2(x+1)(2x^2-5x-3)\geq 0\)
\(\Delta=25+24=49\)
\(x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}\)
\(x_2=\frac{5+7}{4}=3\)
\(2(x+1)(x-3)(x+\frac{1}{2})\geq 0\)
Sporządzamy poglądowy wykres:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-28, ZAD-4887
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),
b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).