Zadanie maturalne nr 9, matura 2022 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Na podstawie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów możemy napisać:

\(W(-2)=-30\)

Obliczamy wartość wielomianu w punkcie -2:

\(4\cdot (-2)^3-6\cdot(-2)^2-(5m+1)\cdot (-2)-2m=-30)\)

\(4\cdot (-8)-6\cdot 4 + 10m+2-2m+30=0)\)

\(-32-24+8m+32=0\)

\(8m=24/:8\)

\(m=3\)

Otrzymujemy więc nierówność:

\(4x^3-6x^2-16x-6\geq0\)

Szukamy pierwiastków wielomianu spośród podzielników wyrazu wolnego:

\(W(1)=4-6-16-6\neq 0\)

\(W(-1)=-4-6+16-6=0\)

Liczba -1 jest pierwiastkiem naszego wielomianu. skorzystamy ze schematu Hornera:

Nasza nierówność przyjmuje postać:

\((x+1)(4x^2-10x-6)\geq 0\)

\(2(x+1)(2x^2-5x-3)\geq 0\)

\(\Delta=25+24=49\)

\(x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}\)

\(x_2=\frac{5+7}{4}=3\)

\(2(x+1)(x-3)(x+\frac{1}{2})\geq 0\)

Sporządzamy poglądowy wykres:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-04-28, ZAD-4887

Zadania podobne

Rozwiązać nierówność:

a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),

b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).

Rozwiązać nierówność \((x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0\).

Rozwiązać nierówność \(x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0\).

Rozwiązać nierówność \(\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0\).

Rozwiąż nierówność: \(\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0\).

Rozwiązać nierówność \(\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1\).

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).