Równanie algebraiczne

Definicja

Równanie w postaci W(x)=0, gdzie W(x) jest wielomianem niezerowym nazywamy równaniem algebraicznym lub równaniem n-tego stopnia lub równaniem wielomianowym.

Przykład

Przykłady równań algebraicznych:
- jest to równanie 3-go stopnia,
- jest to równanie 5-go stopnia,
- jest to równanie 2-go stopnia (kwadratowe),
- jest to równanie 1-go stopnia.

Twierdzenie

Równanie algebraiczne n-tego stopnia ma co najwyżej n różnych pierwiastków (rozwiązań).

Twierdzenie

Jeżeli wielomian n-tego stopnia ma n różnych pierwiastków , to
$W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot{...}\cdot{(x-x_n)}$ gdzie a_n jest czynnikiem przy xⁿ.

Twierdzenie

Każde równanie algebraiczne nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek.

Rozwiązanie równania algebraicznego często sprowadza się do rozkładu wielomianu na czynniki, każdy z tych czynników możemy przyrównać do zera i otrzymać w ten sposób rozwiązania.

Można też zastosować następujący schemat rozwiązania równania algebraicznego:

szukamy pierwiastka a równania wśród podzielników wyrazu wolnego,
Dzielimy wielomian przez (x-a),
otrzymany iloraz przyrównujemy do zera,
w zależności od stopnia otrzymanego równania powtarzamy procedurę lub stosujemy inną znaną metodę.

Oto kilka przykładów rozwiązań równań algebraicznych.

Przykład

Rozwiązać równanie
Szukamy pierwiastków pośród liczb 1, -1, 2 i -2 (dzielniki wyrazu wolnego).
$W(1)=1-2+1-2=-2\neq{0}\\W(-1)=-1-2-1-2=-6\neq{0}\\W(2)=8-8+2-2=0\\W(-2)=-8-8-2-2=-20\neq{0}$
Znaleźliśmy jeden pierwiastek równy liczbie 2. Zatem wielomian dzieli się przez (x-2)
Wykonajmy to dzielenie.

$\begin{array}{lll} (x^3-2x^2+x-2) &:& (x-2)=x^2+1 \\ \ \underline{x^3-2x^2} & & \\ \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x - 2 & & \\ \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x-2} & &\\ \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 & & \\ \end{array}$

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:
.
Ponieważ jedynym pierwiastkiem równania jest liczba 2.

Odpowiedź: x=2

Przykład

Rozwiązać równanie
Szukamy pierwiastków pośród liczb 1, -1, 2 i -2 (dzielniki wyrazu wolnego).
$W(1)=-2+3+3-2=2\neq{0}\\W(-1)=2+3-3-2=0$
Znaleźliśmy jeden pierwiastek równy liczbie -1. Zatem nasz wielomian dzieli się przez (x+1)
Wykonajmy to dzielenie.

$\begin{array}{lll} (-2x^3+3x^2+3x-2) &:& (x+1)=-2x^2+5x-2 \\ \ \underline{-2x^3-2x^2} & & \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad 5x^2+3x-2 & & \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \ \ \underline{5x^2+5x} & &\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad \qquad -2x-2 & & \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad \quad \underline{-2x-2} & & \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad R=0 & & \end{array}$

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:
.
Drugi czynnik to nic innego jak trójmian kwadratowy, rozkładamy go więc na czynniki.
$a=-2\\b=5\\c=-2\\{\Delta=b^2-4ac=25-16=9}\\x_1=\frac{-b-sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5-3}{-4}=2\\x_2=\frac{-b+sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5+3}{-4}=\frac{1}{2}$

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:
$W(x)=-2x^3+3x^2+3x-2=(x+1)(-2x^2+5x-2)=(x+1)(x-2)(x-\frac{1}{2})=0$ .

Odpowiedź: $x_1=-1,\ x_2=\frac{1}{2},\ x_3=2$

Twierdzenie

Jeżeli niezerowa liczba wymierna $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania $W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$ , gdzie $a_n,\ a_{n-1},\ ...,a1 \ , a0$ są współczynnikami całkowitymi i $a_0\cdot{a_n}\neq{0}$ , to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a₀, a q jest podzielnikiem współczynnika a_n.

Przykład

W przypadku, gdy współczynnik a_n jest różny od jedności możemy typować także ułamki pośród pierwiastków równania algebraicznego.
Oto taki przykład:
Znajdźmy powyższą metodą pierwiastki równania
Podzielniki p wyrazu wolnego: 1, -1
Podzielniki q współczynnika przy najwyższej potędze niewiadomej: 1,-1,2,-2,3,-3
Możliwe pierwiastki (p/q): $1,-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}$
Sprawdźmy kolejno wartości wielomianów dla tych liczb.
$W(1)=6-1-1=4\neq{0}\\W(-1)=6+1-1=6\neq{0}\\W(\frac{1}{2})=6\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1=0\\W(-\frac{1}{2})=6\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1=1\neq{0}\\W(\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{9}-\frac{1}{3}-1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}\neq{0}\\W(-\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{3}-1=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-1=0$

A więc znaleźliśmy dwa pierwiastki (rozwiązania równania). Zapiszmy jeszcze postać iloczynową wielomianu.
$6(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=0$