Równanie algebraiczne
Definicja
Równanie w postaci W(x)=0, gdzie W(x) jest wielomianem niezerowym nazywamy równaniem algebraicznym lub równaniem n-tego stopnia lub równaniem wielomianowym.
Przykład
Przykłady równań algebraicznych: - jest to równanie 3-go stopnia,
- jest to równanie 5-go stopnia,
- jest to równanie 2-go stopnia (kwadratowe),
- jest to równanie 1-go stopnia.
Twierdzenie
Równanie algebraiczne n-tego stopnia ma co najwyżej n różnych pierwiastków (rozwiązań). Twierdzenie
Jeżeli wielomian n-tego stopnia ma n różnych pierwiastków , to
gdzie an jest czynnikiem przy xn.
Twierdzenie
Każde równanie algebraiczne nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek.
Rozwiązanie równania algebraicznego często sprowadza się do rozkładu wielomianu na czynniki, każdy z tych czynników możemy przyrównać do zera i otrzymać w ten sposób rozwiązania.
Można też zastosować następujący schemat rozwiązania równania algebraicznego:
- szukamy pierwiastka a równania wśród podzielników wyrazu wolnego,
- Dzielimy wielomian przez (x-a),
- otrzymany iloraz przyrównujemy do zera,
- w zależności od stopnia otrzymanego równania powtarzamy procedurę lub stosujemy inną znaną metodę.
Oto kilka przykładów rozwiązań równań algebraicznych.
Przykład
Rozwiązać równanie
Szukamy pierwiastków pośród liczb 1, -1, 2 i -2 (dzielniki wyrazu wolnego).
Znaleźliśmy jeden pierwiastek równy liczbie 2. Zatem wielomian dzieli się przez (x-2)
Wykonajmy to dzielenie.
Możemy zapisać równanie w następującej postaci:
.
Ponieważ jedynym pierwiastkiem równania jest liczba 2.
Odpowiedź: x=2
Przykład
Rozwiązać równanie
Szukamy pierwiastków pośród liczb 1, -1, 2 i -2 (dzielniki wyrazu wolnego).
Znaleźliśmy jeden pierwiastek równy liczbie -1. Zatem nasz wielomian dzieli się przez (x+1)
Wykonajmy to dzielenie.
Możemy zapisać równanie w następującej postaci:
.
Drugi czynnik to nic innego jak trójmian kwadratowy, rozkładamy go więc na czynniki.
Możemy zapisać równanie w następującej postaci:
.
Odpowiedź:
Twierdzenie
Jeżeli niezerowa liczba wymierna (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania
, gdzie
są współczynnikami całkowitymi i
, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest podzielnikiem współczynnika an.
Przykład
W przypadku, gdy współczynnik an jest różny od jedności możemy typować także ułamki pośród pierwiastków równania algebraicznego.
Oto taki przykład:
Znajdźmy powyższą metodą pierwiastki równania
Podzielniki p wyrazu wolnego: 1, -1
Podzielniki q współczynnika przy najwyższej potędze niewiadomej: 1,-1,2,-2,3,-3
Możliwe pierwiastki (p/q):
Sprawdźmy kolejno wartości wielomianów dla tych liczb.
A więc znaleźliśmy dwa pierwiastki (rozwiązania równania). Zapiszmy jeszcze postać iloczynową wielomianu.
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Równanie algebraiczne
Zadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie wielomianowe .
Zadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)
Rozwiązać równanie
Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie
Zadanie - równanie wielomianowe z parametrem
Dla jakich wartości parametrów a i b równanie ma podwójny pierwiastek, równy 3?
Zadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie
Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie .
Zadanie maturalne nr 28, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać równanie .
Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom podstawowy)
Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:
A. -1
B. 21
C. 1
D. -21
Zadanie maturalne nr 5, matura 2014
Wspólnym pierwiastkiem równań jest liczba:
A. -1
B. 1
C. 5
D. 10
Zadanie maturalne nr 27, matura 2014
Rozwiąż równanie 9x3+18x2-4x-8=0.
Zadanie maturalne nr 27, matura 2018
Rozwiąż równanie x3−7x2−4x+28=0.
Zadanie maturalne nr 26, matura 2019
Rozwiąż równanie x3−5x2−9x+45=0.
Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze
Zadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji
Zadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji
© medianauka.pl, 2009-08-18, ART-286