Równanie wielomianowe

Równanie w postaci \(W(x)=0\), gdzie \(W(x)\) jest wielomianem niezerowym, nazywamy równaniem algebraicznym lub równaniem n-tego stopnia, lub równaniem wielomianowym.

Przykłady

Przykłady równań algebraicznych:

  • \(x^3+x-1=0\) — jest to równanie 3. stopnia.
  • \(x^5+5x^3-x-33=0\) — jest to równanie 5. stopnia.
  • \(5x^2+7=0\) — jest to równanie 2. stopnia (kwadratowe).
  • \(x-1=0\) — jest to równanie 1. stopnia.

Twierdzenie

Równanie algebraiczne \(n\)-tego stopnia ma co najwyżej \(n\) różnych pierwiastków (rozwiązań).

Twierdzenie

Jeżeli wielomian \(n\)-tego stopnia ma \(n\) różnych pierwiastków \(x_1,x_2,x_3,...,x_n\), to

\(W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot{...}\cdot{(x-x_n)}\),

gdzie \(a_n\) jest czynnikiem przy \(x^n\).

Twierdzenie

Każde równanie algebraiczne nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek.

Jak rozwiązać równanie algebraiczne?

Rozwiązanie równania algebraicznego często sprowadza się do rozkładu wielomianu na czynniki, a każdy z tych czynników możemy przyrównać do zera i otrzymać w ten sposób rozwiązania.

Można też zastosować następujący schemat rozwiązania równania algebraicznego:

Oto kilka przykładów rozwiązań równań wielomianowych.

Przykład 1

Rozwiązać równanie \(x^3-2x^2+x-2=0\).

Szukamy pierwiastków pośród liczb 1, -1, 2 i -2 (dzielniki wyrazu wolnego).

\(W(1)=1-2+1-2=-2\neq{0}\)

\(W(-1)=-1-2-1-2=-6\neq{0}\)

\(W(2)=8-8+2-2=0\)

\(W(-2)=-8-8-2-2=-20\neq{0}\)

Znaleźliśmy jeden pierwiastek równy liczbie 2. Zatem wielomian \(W(x)=x^3-2x^2+x-2\) dzieli się przez \((x-2)\).

Wykonajmy to dzielenie.

dzielenie

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:

\(W(x)=x^3-2x^2+x-2=(x-2)(x^2+1)=0\)

Ponieważ \(x^2+1<0\) jedynym pierwiastkiem równania jest liczba 2.

Odpowiedź: \(x=2\).

Przykład 2

Rozwiązać równanie \(-2x^3+3x^2+3x-2=0\).

Szukamy pierwiastków pośród liczb 1, -1, 2 i -2 (dzielniki wyrazu wolnego).

\(W(1)=-2+3+3-2=2\neq{0}\)

\(W(-1)=2+3-3-2=0\)

Znaleźliśmy jeden pierwiastek równy liczbie -1. Zatem nasz wielomian dzieli się przez \((x+1)\).

Wykonajmy to dzielenie.

dzielenie

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:

\(W(x)=-2x^3+3x^2+3x-2=(x+1)(-2x^2+5x-2)=0\).

Drugi czynnik to nic innego jak trójmian kwadratowy, rozkładamy go więc na czynniki.

\(a=-2, b=5, c=-2\)

\({\Delta=b^2-4ac=25-16=9}\)

\(x_1=\frac{-b-sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5-3}{-4}=2\)

\(x_2=\frac{-b+sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5+3}{-4}=\frac{1}{2}\)

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:

\(W(x)=-2x^3+3x^2+3x-2=(x+1)(-2x^2+5x-2)=(x+1)(x-2)(x-\frac{1}{2})=0\)

Odpowiedź: \(x_1=-1, x_2=\frac{1}{2}, x_3=2\).

Twierdzenie

Jeżeli niezerowa liczba wymierna \(\frac{p}{q}\) (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania \(W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0\), gdzie \(a_n,\ a_{n-1},\ ...,a1 \ , a0\) są współczynnikami całkowitymi i \(a_0\cdot{a_n}\neq{0}\), to \(p\) jest podzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\), a \(q\) jest podzielnikiem współczynnika \(a_n\).

Przykład

W przypadku, gdy współczynnik \(a_n\) jest różny od jedności, możemy typować także ułamki pośród pierwiastków równania algebraicznego. Oto taki przykład.

Znajdźmy powyższą metodą pierwiastki równania \(6x^2-x-1=0\).

Podzielniki p wyrazu wolnego: 1, -1
Podzielniki q współczynnika przy najwyższej potędze niewiadomej: 1,-1,2,-2,3,-3

Możliwe pierwiastki \(\frac{p}{q}\): \(1,-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\).

Sprawdźmy kolejno wartości wielomianów dla tych liczb.

\(W(1)=6-1-1=4\neq{0}\)

\(W(-1)=6+1-1=6\neq{0}\)

\(W(\frac{1}{2})=6\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1=0\)

\(W(-\frac{1}{2})=6\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1=1\neq{0}\)

\(W(\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{9}-\frac{1}{3}-1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}\neq{0}\)

\(W(-\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{3}-1=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-1=0\)

A więc znaleźliśmy dwa pierwiastki (rozwiązania równania). Zapiszmy jeszcze postać iloczynową wielomianu.

\(6(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=0\)



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:

A. \(-1\)

B. \(21\)

C. \(1\)

D. \(-21\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-12x+8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

A. 3

B. 2

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

A. -3

B. 3

C. 0

D. 9

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Rozwiąż równanie \((x^2− 1)(x^2−2x)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−5x^2−9x+45=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−7x^2−4x+28=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:

A. -1

B. 1

C. 5

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiązać równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12.

Rozwiązać równanie \(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13.

Rozwiązać równanie \(3x^2=\frac{6}{x+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14.

Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15.

Rozwiązać równanie \(8x^3-10x^2+x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16.

Rozwiązać równanie \(x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17.

Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 20.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-08-18, A-286
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-09



©® Media Nauka 2008-2023 r.