Nauka » Matematyka » Równanie algebraiczne

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W(1)=8\cdot 1^3+10\cdot 1^2+1+1=8-10+1+1=0$

$(8x^3-10x^2+x+1):(x-1)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^3-8x^2}\\ \ \ \ \ \ -2x^2+x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{-2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$8x^2-2x-1 \\ a=8 \\ b=-2 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=4+32=36 \\ \sqrt{\Delta}=6 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}$
Równanie ma trzy rozwiązania:
$x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{4}, \ x_3=1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Trzeba znaleźć pierwiastki danego wielomianu (oznaczmy go przez W(x)), co oznacza, że rozwiązujemy równanie algebraiczne.

Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:

$W(1)=8\cdot 1^3+10\cdot 1^2+1+1=8-10+1+1=0$

Wartość wielomianu dla x=1 jest równa zeru, więc znaleźliśmy jeden pierwiastek x₁=1. Teraz w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielimy wielomian W(x) przez wielomian (x-1). Wykonujemy dzielenie:

$(8x^3-10x^2+x+1):(x-1)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^3-8x^2}\\ \ \ \ \ \ -2x^2+x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{-2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Reszta z dzielenia jest równa zero. Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

Mamy jeszcze trójmian kwadratowy, który spróbujemy rozłożyć na czynniki, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego:

Trójmian kwadratowy ma 2 pierwiastki. Zatem badane równanie ma trzy rozwiązania.

Odpowiedź

$x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{4}, \ x_3=1$

Zadania podobne

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze $(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie wielomianowe

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wielomianowe z parametrem
Dla jakich wartości parametrów a i b równanie

ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie $3x^2=\frac{6}{x+1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 28, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom podstawowy)
Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:

A. -1
B. 21
C. 1
D. -21

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2014
Wspólnym pierwiastkiem równań $(x^2-1)(x-10)(x-5)=0 \quad i \quad \frac{2x-10}{x-1}=0$ jest liczba:

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2014
Rozwiąż równanie 9x³+18x²-4x-8=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2018

Rozwiąż równanie x³−7x²−4x+28=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2019

Rozwiąż równanie x³−5x²−9x+45=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2020

Suma wszystkich rozwiązań równania x(x − 3)(x + 2) = 0 jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2020

Rozwiąż równanie (x² − 1)(x² − 2x) = 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.