Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)

Rozwiązać równanie 8x^3-10x^2+x+1=0

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(1)=8\cdot 1^3+10\cdot 1^2+1+1=8-10+1+1=0

(8x^3-10x^2+x+1):(x-1)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^3-8x^2}\\ \ \ \ \ \ -2x^2+x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{-2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x-1)(8x^2-2x-1)=0
8x^2-2x-1 \\ a=8 \\ b=-2 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=4+32=36 \\ \sqrt{\Delta}=6 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}
Równanie ma trzy rozwiązania:
x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{4}, \ x_3=1


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Trzeba znaleźć pierwiastki danego wielomianu (oznaczmy go przez W(x)), co oznacza, że rozwiązujemy równanie algebraiczne.

Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:

W(1)=8\cdot 1^3+10\cdot 1^2+1+1=8-10+1+1=0

Wartość wielomianu dla x=1 jest równa zeru, więc znaleźliśmy jeden pierwiastek x1=1. Teraz w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielimy wielomian W(x) przez wielomian (x-1). Wykonujemy dzielenie:

(8x^3-10x^2+x+1):(x-1)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^3-8x^2}\\ \ \ \ \ \ -2x^2+x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{-2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Reszta z dzielenia jest równa zero. Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

(x-1)(8x^2-2x-1)=0

Mamy jeszcze trójmian kwadratowy, który spróbujemy rozłożyć na czynniki, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego:

8x^2-2x-1 \\ a=8 \\ b=-2 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=4+32=36 \\ \sqrt{\Delta}=6 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}

Trójmian kwadratowy ma 2 pierwiastki. Zatem badane równanie ma trzy rozwiązania.

ksiązki Odpowiedź

x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{4}, \ x_3=1

© medianauka.pl, 2010-01-22, ZAD-534





Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie wielomianowe x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)
Rozwiązać równanie x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie wielomianowe z parametrem
Dla jakich wartości parametrów a i b równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie 3x^2=\frac{6}{x+1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie 30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 28, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać równanie (4-x)(x^2+2x-15)=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom podstawowy)
Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:

A. -1
B. 21
C. 1
D. -21


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2014
Wspólnym pierwiastkiem równań (x^2-1)(x-10)(x-5)=0 \quad i \quad \frac{2x-10}{x-1}=0 jest liczba:

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 27, matura 2014
Rozwiąż równanie 9x3+18x2-4x-8=0.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.