Zadanie - równanie wielomianowe z parametrem


Dla jakich wartości parametrów a i b równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma podwójny pierwiastek, równy 3?

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

(x-3)^2=x^2-6x+9 \\ (x^4-6x^3+10x^2-bx+a):(x^2-6x+9)=x^2+1\\ \underline{x^4-6x^3+9x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ x^2-bx+a \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2-6x+9} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=-bx+6x+a-9

R=-bx+6x+a-9=0\\ x(-b+6)+a-9=0 \\ b=6 \\ a=9
Równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma jeden pierwiastek podwójny równy 3 dla a=9 i b=6.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z twierdzeniem Bezout, liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), jeżeli ten wielomian jest podzielny przez x-a. Wiemy, że nasz wielomian z lewej strony równania ma podwójny pierwiastek x1=3. Jest to pierwiastek podwójny, zatem wielomian W(x) musi być podzielny przez (x-3)2=x2-6x+9

Wykonujemy dzielenie wielomianu W(x) przez trójmian x2-6x+9.

(x-3)^2=x^2-6x+9 \\ (x^4-6x^3+10x^2-bx+a):(x^2-6x+9)=x^2+1\\ \underline{x^4-6x^3+9x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ x^2-bx+a \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2-6x+9} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=-bx+6x+a-9

Podzielność wielomianu oznacza, że reszta z dzielenia R musi być równa zero. Piszemy więc:

R=-bx+6x+a-9=0\\ x(-b+6)+a-9=0 \\ b=6 \\ a=9

Aby wyrazy się zredukowały, a musi być równe 9, a b musi być równe 6.

ksiązki Odpowiedź

Równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma jeden pierwiastek podwójny równy 3 dla a=9 i b=6.

© medianauka.pl, 2010-01-22, ZAD-535

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie wielomianowe x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)
Rozwiązać równanie x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie 8x^3-10x^2+x+1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie 3x^2=\frac{6}{x+1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie 30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 28, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać równanie (4-x)(x^2+2x-15)=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom podstawowy)
Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:

A. -1
B. 21
C. 1
D. -21


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2014
Wspólnym pierwiastkiem równań (x^2-1)(x-10)(x-5)=0 \quad i \quad \frac{2x-10}{x-1}=0 jest liczba:

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 27, matura 2014
Rozwiąż równanie 9x3+18x2-4x-8=0.

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki Miasto
Kolorowe skarpetki 3D
kolorowe skarpetki góra lodowa
Kolorowe skarpetki Kostka
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.