Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - równanie wielomianowe z parametrem


Dla jakich wartości parametrów a i b równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma podwójny pierwiastek, równy 3?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

(x-3)^2=x^2-6x+9 \\ (x^4-6x^3+10x^2-bx+a):(x^2-6x+9)=x^2+1\\ \underline{x^4-6x^3+9x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ x^2-bx+a \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2-6x+9} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=-bx+6x+a-9

R=-bx+6x+a-9=0\\ x(-b+6)+a-9=0 \\ b=6 \\ a=9
Równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma jeden pierwiastek podwójny równy 3 dla a=9 i b=6.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z twierdzeniem Bezout, liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), jeżeli ten wielomian jest podzielny przez x-a. Wiemy, że nasz wielomian z lewej strony równania ma podwójny pierwiastek x1=3. Jest to pierwiastek podwójny, zatem wielomian W(x) musi być podzielny przez (x-3)2=x2-6x+9

Wykonujemy dzielenie wielomianu W(x) przez trójmian x2-6x+9.

(x-3)^2=x^2-6x+9 \\ (x^4-6x^3+10x^2-bx+a):(x^2-6x+9)=x^2+1\\ \underline{x^4-6x^3+9x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ x^2-bx+a \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2-6x+9} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=-bx+6x+a-9

Podzielność wielomianu oznacza, że reszta z dzielenia R musi być równa zero. Piszemy więc:

R=-bx+6x+a-9=0\\ x(-b+6)+a-9=0 \\ b=6 \\ a=9

Aby wyrazy się zredukowały, a musi być równe 9, a b musi być równe 6.

ksiązki Odpowiedź

Równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma jeden pierwiastek podwójny równy 3 dla a=9 i b=6.

© medianauka.pl, 2010-01-22, ZAD-535





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.