Nauka » Matematyka » Równanie algebraiczne

Zadanie - równanie wielomianowe z parametrem

Dla jakich wartości parametrów a i b równanie

ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$(x-3)^2=x^2-6x+9 \\ (x^4-6x^3+10x^2-bx+a):(x^2-6x+9)=x^2+1\\ \underline{x^4-6x^3+9x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-bx+a \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2-6x+9} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=-bx+6x+a-9$

$R=-bx+6x+a-9=0\\ x(-b+6)+a-9=0 \\ b=6 \\ a=9$
Równanie

ma jeden pierwiastek podwójny równy 3 dla a=9 i b=6.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z twierdzeniem Bezout, liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), jeżeli ten wielomian jest podzielny przez x-a. Wiemy, że nasz wielomian z lewej strony równania ma podwójny pierwiastek x₁=3. Jest to pierwiastek podwójny, zatem wielomian W(x) musi być podzielny przez (x-3)²=x²-6x+9

Wykonujemy dzielenie wielomianu W(x) przez trójmian x²-6x+9.

Podzielność wielomianu oznacza, że reszta z dzielenia R musi być równa zero. Piszemy więc:

$R=-bx+6x+a-9=0\\ x(-b+6)+a-9=0 \\ b=6 \\ a=9$

Aby wyrazy się zredukowały, a musi być równe 9, a b musi być równe 6.

Odpowiedź

Równanie

ma jeden pierwiastek podwójny równy 3 dla a=9 i b=6.

Zadania podobne

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze $(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie wielomianowe

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie $3x^2=\frac{6}{x+1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 28, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom podstawowy)
Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:

A. -1
B. 21
C. 1
D. -21

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2014
Wspólnym pierwiastkiem równań $(x^2-1)(x-10)(x-5)=0 \quad i \quad \frac{2x-10}{x-1}=0$ jest liczba:

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2014
Rozwiąż równanie 9x³+18x²-4x-8=0.

Pokaż rozwiązanie zadania