Zadanie - równanie algebraiczne

Rozwiązanie zadania uproszczone
Szukamy rozwiązań równania wśród podzielników wyrazu wolnego:




Dwumian x2+1 nie rozkłada się na czynniki.

Równanie wielomianowe ma 3 rozwiązania:

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Aby rozwiązać to równanie należy wielomian występujący po lewej stronie równania doprowadzić do postaci iloczynowej. Szukamy pierwiastków wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: 1,-1,3,-3,5,-5, 15 i -15
Obliczamy wartość wielomianu dla tych liczb:







Można jeszcze obliczyć wartość wielomianu dla 15 i -15, jednak mając już trzy pierwiastki wielomianu można poszukać pozostałych pierwiastków potem. Będzie to prawdopodobnie łatwiejsze, gdyż teraz potęga wielomianu jest wysoka i rachunki byłyby uciążliwe.
Skoro liczby -1, 3 i 5 są pierwiastkami wielomianu W(x), to zgodnie z twierdzeniem Bezout wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez x+1, x-3, x-5. Dzieli się też bez reszty przez iloczyn tych jednomianów. Możemy najpierw podzielić W(x) przez x+1, potem wynik przez kolejny jednomian i tak dalej, jednak efekt osiągniemy szybciej, gdy od razu podzielimy wielomian W(x) przez iloczyn tych jednomianów.

Wykonujemy dzielenie wielomianów:

Podkreślenia w powyższym działaniu oznaczaniu oznacza różnicę wielomianów.
Teraz dalej możemy rozkładać wielomian na czynniki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego: 1, a więc wśród liczb 1 i -1.

Wykonujemy więc jeszcze dzielenie wielomianu W1(x) przez x+1

Dwumian x2+1 nie rozkłada się już na czynniki ()
Możemy więc zapisać, że:

Równanie wielomianowe ma więc 3 rozwiązania:
Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-450
Zadania podobne

Rozwiązać równanie wykładnicze

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametrów a i b równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:
A. -1
B. 21
C. 1
D. -21
Pokaż rozwiązanie zadania

Wspólnym pierwiastkiem równań

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż równanie 9x3+18x2-4x-8=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż równanie x3−7x2−4x+28=0.
Pokaż rozwiązanie zadania