Strona główna » Matematyka » Równanie algebraiczne

Zadanie - równanie algebraiczne

Rozwiązać równanie wielomianowe

Rozwiązanie zadania uproszczone

Szukamy rozwiązań równania wśród podzielników wyrazu wolnego:

$W(1)=1^6-6\cdot 1^5+1^4+16\cdot 1^3+15\cdot 1^2+22\cdot 1+15= \\ =1-6+1+16+15+22+15=64\neq 0 \\ W(-1)=1+6+1-16+15-22+15=0 \\ W(3)=729-6\cdot 243+81+16\cdot 27+15\cdot 9 +22\cdot 3+15=\\ =729-1458+81+432+135+66+15=0 \\ W(-3)=729+1458+81-432+135-66+15\neq 0 \\ W(5)=15625-6\cdot 3125+625+16\cdot 125+15\cdot 25 +22\cdot 5+15=\\ =15625-18750+625+2000+375+110+15=0 \\ W(-5)=15625+18750+625-2000+375-110+15\neq 0$

$(x+1)(x-3)(x-5)=(x^2-3x+x-3)(x-5)=\\ =(x^2-2x-3)(x-5)=x^3-5x^2-2x^2+10x-3x+15= \\ =x^3-7x^2+7x+15$

tło

$W_1(x)=x^3+x^2+x+1 \\ W_1(1)=1+1+1+1=4 \\ W_1(-1)=-1+1-1+1=0$

$(x^3+x^2+x+1):(x+1)=x^2+1 \\ \underline{x^3+x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Dwumian x²+1 nie rozkłada się na czynniki.

$x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=\\ =(x+1)^2(x-3)(x-5)(x^2+1)$

Równanie wielomianowe ma 3 rozwiązania:

$x_1=-1, \ x_2=3, \ x_3=5$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać to równanie należy wielomian występujący po lewej stronie równania doprowadzić do postaci iloczynowej. Szukamy pierwiastków wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: 1,-1,3,-3,5,-5, 15 i -15

Obliczamy wartość wielomianu dla tych liczb:

$W=x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15 \\ W(1)=1^6-6\cdot 1^5+1^4+16\cdot 1^3+15\cdot 1^2+22\cdot 1+15= \\ =1-6+1+16+15+22+15=64\neq 0 \\ W(-1)=1+6+1-16+15-22+15=0 \\ W(3)=729-6\cdot 243+81+16\cdot 27+15\cdot 9 +22\cdot 3+15=\\ =729-1458+81+432+135+66+15=0 \\ W(-3)=729+1458+81-432+135-66+15\neq 0 \\ W(5)=15625-6\cdot 3125+625+16\cdot 125+15\cdot 25 +22\cdot 5+15=\\ =15625-18750+625+2000+375+110+15=0 \\ W(-5)=15625+18750+625-2000+375-110+15\neq 0$ tło

Można jeszcze obliczyć wartość wielomianu dla 15 i -15, jednak mając już trzy pierwiastki wielomianu można poszukać pozostałych pierwiastków potem. Będzie to prawdopodobnie łatwiejsze, gdyż teraz potęga wielomianu jest wysoka i rachunki byłyby uciążliwe.

Skoro liczby -1, 3 i 5 są pierwiastkami wielomianu W(x), to zgodnie z twierdzeniem Bezout wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez x+1, x-3, x-5. Dzieli się też bez reszty przez iloczyn tych jednomianów. Możemy najpierw podzielić W(x) przez x+1, potem wynik przez kolejny jednomian i tak dalej, jednak efekt osiągniemy szybciej, gdy od razu podzielimy wielomian W(x) przez iloczyn tych jednomianów.

$(x+1)(x-3)(x-5)=(x^2-3x+x-3)(x-5)=\\ =(x^2-2x-3)(x-5)=x^3-5x^2-2x^2+10x-3x+15= \\ =x^3-7x^2+7x+15$

Wykonujemy dzielenie wielomianów:

$\small{\ (x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15):(x^3-7x^2+7x+15)=x^3+x^2+x+1 \\ \ \underline{x^6-7x^5+7x^4+15x^3} \ \\ \ x^5-6x^4+x^3+15x^2+22x+15 \\ \quad \underline{x^5-7x^4+7x^3+15x^2} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad x^4-6x^3+ \ \ \ \ \ \ 22x+15 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \underline{x^4-7x^3+7x^2+15x} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x^3-7x^2+7x+15 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \underline{x^3-7x^2+7x+15} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad R=0}$

Podkreślenia w powyższym działaniu oznaczaniu oznacza różnicę wielomianów.

Teraz dalej możemy rozkładać wielomian na czynniki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego: 1, a więc wśród liczb 1 i -1.