Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - dziedzna funkcji wymiernej


Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(x)=6x^3-5x^2-2x+1\neq 0
W(1)=6\cdot 1^3-5\cdot 1^2-2\cdot 1+1=6-5-2+1=0\\ W(-1)=-6-5+2+1=-8\neq 0
W(\frac{1}{2})=6\cdot (\frac{1}{2})^3-5\cdot (\frac{1}{2})^2-2\cdot \frac{1}{2}+1=\ ^3\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{8}_4}-5\cdot \frac{1}{4}-1+1=\\ =\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\neq 0 \\ W(-\frac{1}{2})=6\cdot (-\frac{1}{2})^3-5\cdot (-\frac{1}{2})^2-2\cdot (-\frac{1}{2})+1=\\ =-\ ^3\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{8}_4}-5\cdot \frac{1}{4}+1+1=-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}+2=-\frac{8}{4}+2=-2+2=0\\ W(\frac{1}{3})=6\cdot (\frac{1}{3})^3-5\cdot (\frac{1}{3})^2-2\cdot \frac{1}{3}+1=\ ^2\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{27}_9}-5\cdot \frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\\ =\frac{2}{9}-\frac{5}{9}-\frac{6}{9}+1=-1+1=0
Dziedziną funkcji jest zbiór R/ \lbrace -\frac{1}{2},\frac{1}{3},1 \rbrace

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia z funkcją wymierną, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z pominięciem pierwiastków wielomianu, który znajduje się w mianowniku ułamka.

Zatem:

W(x)=6x^3-5x^2-2x+1\neq 0

Musimy znaleźć pierwiastki powyższego wielomianu. Rozwiązujemy zatem równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:

W(1)=6\cdot 1^3-5\cdot 1^2-2\cdot 1+1=6-5-2+1=0\\ W(-1)=-6-5+2+1=-8\neq 0

Znaleźliśmy jeden pierwiastek. Teraz możemy w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielić wielomian W(x) przez (x-1), ale możemy też skorzystać z twierdzenia, według którego w przypadku, gdy współczynnik przy x w najwyższej potędze jest różny od jedności (a jest równy 6) możemy typować także ułamki pośród pierwiastków wielomianu.

Podzielniki wyrazu wolnego: 1,-1
Podzielniki wyrazu przy x3:1,-1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Wszystkie ułamki, wśród których może się znaleźć pierwiastek wielomianu W(x): \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, -\frac{1}{6} (Dzielimy podzielniki wyrazu wolnego przez podzielniki wyrazu an)

W(\frac{1}{2})=6\cdot (\frac{1}{2})^3-5\cdot (\frac{1}{2})^2-2\cdot \frac{1}{2}+1=\ ^3\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{8}_4}-5\cdot \frac{1}{4}-1+1=\\ =\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\neq 0 \\ W(-\frac{1}{2})=6\cdot (-\frac{1}{2})^3-5\cdot (-\frac{1}{2})^2-2\cdot (-\frac{1}{2})+1=\\ =-\ ^3\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{8}_4}-5\cdot \frac{1}{4}+1+1=-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}+2=-\frac{8}{4}+2=-2+2=0\\ W(\frac{1}{3})=6\cdot (\frac{1}{3})^3-5\cdot (\frac{1}{3})^2-2\cdot \frac{1}{3}+1=\ ^2\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{27}_9}-5\cdot \frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\\ =\frac{2}{9}-\frac{5}{9}-\frac{6}{9}+1=-1+1=0

Znaleźliśmy dwa kolejne pierwiastki: -1/2 i 1/3. Ponieważ wielomian jest trzeciego stopnia to może mieć co najwyżej trzy pierwiastki. Znaleźliśmy więc już wszystkie pierwiastki, które nie wchodzą do dziedziny analizowanej funkcji.

ksiązki Odpowiedź

Dziedziną funkcji jest zbiór R/ \lbrace -\frac{1}{2},\frac{1}{3},1 \rbrace

© medianauka.pl, 2010-01-21, ZAD-532





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.