Zadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Treść zadania:
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia z funkcją wymierną, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z pominięciem pierwiastków wielomianu, który znajduje się w mianowniku ułamka. Zatem:
\(W(x)=6x^3-5x^2-2x+1\neq 0\)
Musimy znaleźć pierwiastki powyższego wielomianu. Rozwiązujemy zatem równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:
\(W(1)=6\cdot 1^3-5\cdot 1^2-2\cdot 1+1=6-5-2+1=0\)
\(W(-1)=-6-5+2+1=-8\neq 0\)
Znaleźliśmy jeden pierwiastek. Teraz możemy w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielić wielomian \(W(x)\) przez \((x-1)\), ale możemy też skorzystać z twierdzenia, według którego w przypadku, gdy współczynnik przy \(x\) w najwyższej potędze jest różny od jedności (a jest równy 6), możemy typować także ułamki pośród pierwiastków wielomianu.
Podzielniki wyrazu wolnego: \(1,-1\).
Podzielniki wyrazu przy \(x^3: 1,-1, 2, -2, 3, -3, 6, -6\).
Wszystkie ułamki, wśród których może się znaleźć pierwiastek wielomianu \(W(x): \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\) (Dzielimy podzielniki wyrazu wolnego przez podzielniki wyrazu \(a_n\))
\(W(\frac{1}{2})=6\cdot (\frac{1}{2})^3-5\cdot (\frac{1}{2})^2-2\cdot \frac{1}{2}+1=\ ^3\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{8}_4}-5\cdot \frac{1}{4}-1+1=\)
(\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\neq 0\)
\(W(-\frac{1}{2})=6\cdot (-\frac{1}{2})^3-5\cdot (-\frac{1}{2})^2-2\cdot (-\frac{1}{2})+1=\)
\(=-\ ^3\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{8}_4}-5\cdot \frac{1}{4}+1+1=-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}+2=-\frac{8}{4}+2=-2+2=0\)
\(W(\frac{1}{3})=6\cdot (\frac{1}{3})^3-5\cdot (\frac{1}{3})^2-2\cdot \frac{1}{3}+1=\ ^2\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{27}_9}-5\cdot \frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\)
\(=\frac{2}{9}-\frac{5}{9}-\frac{6}{9}+1=-1+1=0\)
Znaleźliśmy dwa kolejne pierwiastki: \(-\frac{1}{2} i \frac{1}{3}. Ponieważ wielomian jest trzeciego stopnia, to może mieć co najwyżej trzy pierwiastki. Znaleźliśmy więc już wszystkie pierwiastki, które nie wchodzą do dziedziny analizowanej funkcji.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-21, ZAD-532
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).