Funkcja wymierna

Definicja

Funkcja wymierna jest to funkcja w postaci:

$f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}$ ,

gdzie A(x) jest wielomianem zmiennej x, B(x) jest niezerowym wielomianem zmiennej x, którego zbiór wszystkich pierwiastków oznaczymy przez P. Dziedziną funkcji wymiernej jest R\P.

Przykłady

Przykłady funkcji wymiernej:

$f(x)=\frac{x^3-x^2+4x-1}{x^4-x^3+x^2-1}\\g(x)=\frac{x}{x+1}\\h(x)=\frac{1}{x}\\i(x)=\frac{W(x)}{1}$

Własności funkcji wymiernej

Z ostatniego przykładu wynika, że każdy wielomian jest funkcją wymierną.

Funkcja wymierna jest ciągła w całej swojej dziedzinie.

Miejscem zerowym funkcji wymiernej jest każdy pierwiastek wielomianu A(x), który nie jest pierwiastkiem wielomianu B(x).

Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna, która zostanie omówiona w osobnym artykule.

W dalszej części lekcji omawiamy także wykres funkcji homograficznej.

Wykres funkcji wymiernej nie jest zwykle łatwo narysować z uwagi na dużą jego zmienność. Na ogół pojawiają się w przebiegu funkcji nieciągłości, różne przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne, asymptoty pionowe, poziome i ukośne. Aby narysować wykres funkcji wymiernej należy na ogół zbadać przebieg zmienności funkcji z wykorzystaniem pojęcia pochodnej funkcji. Szczegółowo temat omawiamy w artykule Szkicowanie wykresów funkcji.