Funkcja wymierna

Definicja Definicja

Funkcja wymierna jest to funkcja w postaci:

f(x)=\frac{A(x)}{B(x)},

gdzie A(x) jest wielomianem zmiennej x, B(x) jest niezerowym wielomianem zmiennej x, którego zbiór wszystkich pierwiastków oznaczymy przez P. Dziedziną funkcji wymiernej jest R\P.

Przykłady

Przykłady funkcji wymiernej:

f(x)=\frac{x^3-x^2+4x-1}{x^4-x^3+x^2-1}\\g(x)=\frac{x}{x+1}\\h(x)=\frac{1}{x}\\i(x)=\frac{W(x)}{1}

Własności funkcji wymiernej

Teoria Z ostatniego przykładu wynika, że każdy wielomian jest funkcją wymierną.

Funkcja wymierna jest ciągła w całej swojej dziedzinie.

Miejscem zerowym funkcji wymiernej jest każdy pierwiastek wielomianu A(x), który nie jest pierwiastkiem wielomianu B(x).

Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna, która zostanie omówiona w osobnym artykule.

W dalszej części lekcji omawiamy także wykres funkcji homograficznej.

Wykres funkcji wymiernej nie jest zwykle łatwo narysować z uwagi na dużą jego zmienność. Na ogół pojawiają się w przebiegu funkcji nieciągłości, różne przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne, asymptoty pionowe, poziome i ukośne. Aby narysować wykres funkcji wymiernej należy na ogół zbadać przebieg zmienności funkcji z wykorzystaniem pojęcia pochodnej funkcji. Szczegółowo temat omawiamy w artykule Szkicowanie wykresów funkcji.

Pytania

Czy funkcja f(x)=1/x+x jest funkcją wymierną?

Zauważmy, że 1/x+x=1/x+x2/x=(x2+1)/x. Mamy więc ogólną postać funkcji wymiernej.




Zadania z rozwiązaniami

zadania
Zadania związane z tematem:
Funkcja wymierna

zadanie-ikonka Zadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}

Pokaż rozwiązanie zadania


Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna jest to funkcja wymierna w postaci y=(ax+b)/(cx+d).

Wykres funkcji homograficznej

Wykres funkcji homograficznej

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola lub prosta. W tym artykule interesuje nas jedynie hiperbola.

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2009-08-19, ART-290





Polecamy w naszym sklepie

Montessori - zabawa cyferkami - cyferki
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Matematyka dla menedżerów
Kolorowe skarpetki 3D
Kolorowe skarpetki Miasto
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.