Funkcja wymierna

Definicja

Funkcja wymierna jest to funkcja w postaci:

$f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}$ ,

gdzie A(x) jest wielomianem zmiennej x, B(x) jest niezerowym wielomianem zmiennej x, którego zbiór wszystkich pierwiastków oznaczymy przez P. Dziedziną funkcji wymiernej jest R\P.

Przykłady

Przykłady funkcji wymiernej:

$f(x)=\frac{x^3-x^2+4x-1}{x^4-x^3+x^2-1}\\g(x)=\frac{x}{x+1}\\h(x)=\frac{1}{x}\\i(x)=\frac{W(x)}{1}$

Własności funkcji wymiernej

Z ostatniego przykładu wynika, że każdy wielomian jest funkcją wymierną.

Funkcja wymierna jest ciągła w całej swojej dziedzinie.

Miejscem zerowym funkcji wymiernej jest każdy pierwiastek wielomianu A(x), który nie jest pierwiastkiem wielomianu B(x).

Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna, która zostanie omówiona w osobnym artykule.

W dalszej części lekcji omawiamy także wykres funkcji homograficznej.

Wykres funkcji wymiernej nie jest zwykle łatwo narysować z uwagi na dużą jego zmienność. Na ogół pojawiają się w przebiegu funkcji nieciągłości, różne przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne, asymptoty pionowe, poziome i ukośne. Aby narysować wykres funkcji wymiernej należy na ogół zbadać przebieg zmienności funkcji z wykorzystaniem pojęcia pochodnej funkcji. Szczegółowo temat omawiamy w artykule Szkicowanie wykresów funkcji.

Pytania

Czy funkcja f(x)=1/x+x jest funkcją wymierną?

Zauważmy, że 1/x+x=1/x+x²/x=(x²+1)/x. Mamy więc ogólną postać funkcji wymiernej.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Funkcja wymierna

Zadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcja homograficzna
Funkcja homograficzna jest to funkcja wymierna w postaci y=(ax+b)/(cx+d).

Wykres funkcji homograficznej
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola lub prosta. W tym artykule interesuje nas jedynie hiperbola.

Test wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.