Nauka » Matematyka » Równanie wielomianowe Funkcja wymierna

Zadanie - dziedzina funkcji wymiernej

Treść zadania:

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).

Rozwiązanie zadania

Mamy do czynienia z funkcją wymierną, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z pominięciem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka. Zatem:

\(2x^3-3x^2-2x\neq 0\)

Powyższy wielomian musimy doprowadzić do postaci iloczynowej. Można wyjąć czynnik \(x\) przed nawias, w którym otrzymamy wówczas trójmian kwadratowy. Pierwiastki trójmianu obliczamy jak przy równaniu kwadratowym.

\(x(2x^2-3x-2)\neq 0\)

\(a=2\)

\(b=-3\)

\(c=-2\)

\(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25\)

\(\sqrt{\Delta}=5 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+5}{4}=2\)

\(x(x+\frac{1}{2})(x-2)\neq 0\)

Wielomian ma zatem trzy pierwiastki: \(-\frac{1}{2}, 0\) (mamy tu czynnik \(x=x-0\), stąd kolejny pierwiastek) i \(2\), które nie należą do dziedziny analizowanej funkcji.

Odpowiedź

Dziedziną funkcji jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \lbrace -\frac{1}{2},0,2 \rbrace\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.