Logo Serwisu Media Nauka


Równanie kwadratowe

Definicja Definicja

Równanie w postaci

ax^2+bx+c=0

gdzie a\neq{0}, b, c - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.

Przykład Przykład

Kilka przykładów równań kwadratowych:

-x^2-x+5=0\\5x^2+5=0\\-4x^2-5x=0

Teoria Ponieważ równanie kwadratowe to nic innego jak trójmian kwadratowy przyrównany do zera, dyskusja liczby rozwiązań (pierwiastków)równania sprowadza się do dyskusji liczby punktów zerowych funkcji kwadratowej. Zatem w zależności od wyróżnika:

\Delta=b^2-4ac

Mamy trzy możliwości:

  • Jeżeli \Delta>0, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania:

    x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

  • Jeżeli \Delta=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek (zwany podwójnym):

    x_0=-\frac{b}{2a}

  • Jeżeli \Delta<0, to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

e-tablica
Kalkulator - Rozwiązywanie równań kwadratowych

Nasz robot spróbuje rozwiązać dowolne równanie kwadratowe w postaci ax2+bx+c=0. Aby rozwiązać równanie podaj współczynniki a,b i c: 

Wpisz dane:

x2+ x + = 0



Rozwiązujemy równanie:

 Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest wieksza od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
  • Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.
Inne kalkulatory:
Rozwiąż układ równań liniowych metodą wyznaczników
Wykaz wszystkich kalkulatorów

zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie:
x^2+3x-4=0\\a=1\\b=3\\c=-4
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot{1}\cdot{(-4)}=9+16=25
Wyróżnik jest większy od zera, więc równanie ma dwa pierwiastki.
\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1

Odpowiedź: x_1=-4,\quad{x_2=1}


zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie -x^2+6x-9=0

Mamy:
a=-1\\b=6\\c=-9
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot{(-1)}\cdot{(-9)}=36-36=0
Wyróżnik jest równy zero, więc równanie ma jeden podwójny pierwiastek.
x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3

Odpowiedź: x_0=3


zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie x^2+3=0

Mamy
a=1\\b=0\\c=3
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot{1}\cdot{3}=-12
Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania.


© Media Nauka, 2009-07-20, ART-271



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 63 - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie 2x^2-|x|+1=2

zadanie - ikonka Zadanie 206 - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2+4x-5=0
b) x^2-22x+121=0
c) x^2+2x+7=0

zadanie - ikonka Zadanie 209 - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0
b) x^2-10x-119=0

zadanie - ikonka Zadanie 211 - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \sqrt{2}, \ \frac{1}{2}

zadanie - ikonka Zadanie 212 - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

zadanie - ikonka Zadanie 213 - zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1

zadanie - ikonka Zadanie 214 - Zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3

zadanie - ikonka Zadanie 108 - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy