Strona główna » Matematyka » Równanie kwadratowe

Zadanie maturalne nr 33, matura 2014

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Rozwiązanie zadania

Przez v oznaczmy średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza, a t - czas wyrażony w godzinach, w jakim turysta zszedł ze wzgórza.

Zależność między tą prędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci

vt=s

Mamy więc:

vt=2,1

Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze, jest równa (v-1) , natomiast czas, w jakim turysta wszedł, jest równy 1h 4' - t.

Możemy więc zapisać drugie równanie (1h 4' oznaczymy jako 64/60=16/15):

(v-1)·(16/15-t)=2,1

Przekształcimy powyższe równanie, wykorzystując w pewnym momencie równanie vt=2,1=21/10:

$2,1=(v-1)(\frac{16}{15}-t)\\\frac{21}{10}=(v-1)(\frac{16}{15}-t)\\\frac{21}{10}=\frac{16}{15}v-vt-\frac{16}{15}+t\\ \frac{21}{10}=\frac{16}{15}v-\frac{21}{10}-\frac{16}{15}+t\\\frac{16}{15}v+t=\frac{126}{30}+\frac{32}{30}=\frac{79}{15}\\t=\frac{79}{15}-\frac{16}{15}v$

Podstawiamy otrzymaną wartość do równania vt=21/10

$v(\frac{79}{15}-\frac{16}{15}v)=\frac{21}{10}\\\frac{79}{15}v-\frac{16}{15}v^2-\frac{21}{10}=0/\cdot 150\\790v-160v^2-315=0/:(-5)\\32v^2-158v+63=0\\\Delta=b^2-4ac=(-158)^2-4\cdot32\cdot63=16900\\\sqrt{\Delta}=130\\v_1=\frac{158-130}{64}=\frac{7}{16}\\v_2=\frac{158+130}{64}=\frac{9}{2}$