Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych


Rozwiązać równanie \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

DR:x\in R/\lbrace -1,1\rbrace \\ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\\ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-1=0 \\ \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{x+\cancel{1}+x-\cancel{1}-(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{2x-(x^2-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{2x-x^2+1}{(x+1)(x-1)}=0 \\ -x^2+2x+1=0

\Delta=2^2-4\cdot (-1)\cdot 1=4+4=8\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}
x_1=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1+\sqrt{2} \\ x_2=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1-\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1-\sqrt{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Warto na początku określić dziedzinę równania. W naszym przypadku jest to zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczb 1 i -1 (mianowniki ułamków muszą być różne od zera).

Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę równania i sprowadzenia ich do wspólnego mianownika: (x+1)(x-1)

\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\\ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-1=0 \\ \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{x+\cancel{1}+x-\cancel{1}-(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{2x-(x^2-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{2x-x^2+1}{(x+1)(x-1)}=0 \\ -x^2+2x+1=0 tło tło

Kilka słów wyjaśnienia do powyższych przekształceń: W ostatnim kroku "zniknął" ułamek. Jeżeli ułamek ma być równy zero, to znaczy, że jego licznik jest równy zero. Możemy więc zapisać ostatnie równanie w takiej postaci. Kolorem żółtym zaznaczono fragment obliczeń, w którym zastosowano wzór skróconego mnożenia: a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Otrzymaliśmy zwykłe równanie kwadratowe. Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:

a=-1\\ b=2\\ c=1

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\Delta=2^2-4\cdot (-1)\cdot 1=4+4=8\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1+\sqrt{2} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1-\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1-\sqrt{2}

Oba rozwiązania należą do dziedziny równania.

ksiązki Odpowiedź

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1+\sqrt{2} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1-\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1-\sqrt{2}

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-603

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie 2x^2-|x|+1=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2+4x-5=0
b) x^2-22x+121=0
c) x^2+2x+7=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0
b) x^2-10x-119=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \sqrt{2}, \ \frac{1}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 33, matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2017 (poziom podstawowy)
Równość (x\sqrt{2} - 2)^2 = (sqrt{2} + 2)^2 jest:

A. prawdziwa dla x = sqrt{2}
B. prawdziwa dla x = -sqrt{2}
C. prawdziwa dla x = -1
D. fałszywa dla każdej liczby x

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Rodzinna matematyka
Kubek matematyka pi
kolorowe skarpetki matematyka
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.