Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Warto na początku określić dziedzinę równania. W naszym przypadku jest to zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczb \(1\) i \(-1\) (mianowniki ułamków muszą być różne od zera).

Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę równania i sprowadzenia ich do wspólnego mianownika: \((x+1)(x-1)\).

\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\)

\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-1=0\)

\(\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0\)

\(\frac{x+\cancel{1}+x-\cancel{1}-(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0\)

\(\frac{2x-(x^2-1)}{(x+1)(x-1)}=0\)

\(\frac{2x-x^2+1}{(x+1)(x-1)}=0\)

\(-x^2+2x+1=0\)

Kilka słów wyjaśnienia do powyższych przekształceń: W ostatnim kroku "zniknął" ułamek. Jeżeli ułamek ma być równy zero, to znaczy, że jego licznik jest równy zero. Możemy więc zapisać ostatnie równanie w takiej postaci. Kolorem żółtym zaznaczono fragment obliczeń, w którym zastosowano wzór skróconego mnożenia: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Otrzymaliśmy zwykłe równanie kwadratowe. Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:

\(a=-1\)

\(b=2\)

\(c=1\)

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(\Delta=2^2-4\cdot (-1)\cdot 1=4+4=8\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}\)

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1+\sqrt{2}\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1-\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1-\sqrt{2}\)

Oba rozwiązania należą do dziedziny równania.


© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-603

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(2x^2-|x|+1=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie kwadratowe:

a) \(x^2+4x-5=0\)

b) \(x^2-22x+121=0\)

c) \(x^2+2x+7=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie:

a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)

b) \(x^2-10x-119=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest

A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)

B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)

C. prawdziwa dla \(x=-1\)

D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.