Strona główna » Matematyka » Równanie kwadratowe

Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych

Rozwiązać równanie $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$DR:x\in R/\lbrace -1,1\rbrace \\ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\\ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-1=0 \\ \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{x+\cancel{1}+x-\cancel{1}-(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{2x-(x^2-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{2x-x^2+1}{(x+1)(x-1)}=0 \\ -x^2+2x+1=0$

$\Delta=2^2-4\cdot (-1)\cdot 1=4+4=8\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$
$x_1=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1+\sqrt{2} \\ x_2=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1-\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1-\sqrt{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Warto na początku określić dziedzinę równania. W naszym przypadku jest to zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczb 1 i -1 (mianowniki ułamków muszą być różne od zera).

Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę równania i sprowadzenia ich do wspólnego mianownika: (x+1)(x-1)

$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\\ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-1=0 \\ \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{x+\cancel{1}+x-\cancel{1}-(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{2x-(x^2-1)}{(x+1)(x-1)}=0 \\ \frac{2x-x^2+1}{(x+1)(x-1)}=0 \\ -x^2+2x+1=0$ tło

Kilka słów wyjaśnienia do powyższych przekształceń: W ostatnim kroku "zniknął" ułamek. Jeżeli ułamek ma być równy zero, to znaczy, że jego licznik jest równy zero. Możemy więc zapisać ostatnie równanie w takiej postaci. Kolorem żółtym zaznaczono fragment obliczeń, w którym zastosowano wzór skróconego mnożenia:

Otrzymaliśmy zwykłe równanie kwadratowe. Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:

$a=-1\\ b=2\\ c=1$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$\Delta=2^2-4\cdot (-1)\cdot 1=4+4=8\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1+\sqrt{2} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1-\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1-\sqrt{2}$