Równanie kwadratowe z parametrem

Czasem w równaniach stosuje się oznaczenia literowe, nazywane parametrami, a równanie zawierające takie oznaczenia literowe nazywamy równaniem z parametrem. Zawsze w takim równaniu musimy wskazać niewiadomą lub ze względu na jaką zmienną należy rozwiązać dane równanie. Parametryzujemy równania w celu jego uogólnienia. Rozwiązując równanie z parametrem, rozwiązujemy całą grupę (klasę) równań.

Poniżej przykład zadania, w którym używa się parametru.

Zadanie

Rozwiązać równanie ze względu na zmienną x:

Aby powyższe równanie mogło być równaniem kwadratowym wartość współczynnika przy drugiej potędze x musi być różna od zera:
$m-1\neq{0}\\m\neq{1}$
Dla m=1 mamy równanie liniowe x+3=0, którego rozwiązaniem jest liczba -3.
Zajmijmy się jednak przypadkiem równania kwadratowego. Mamy tutaj:
$a=m-1\\b=1\\c=3$
Obliczamy wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac=1-12(m-1)=1-12m+12=-12m+13$

Możliwe są trzy przypadki. Musimy je wszystkie rozpatrzyć.

Jeżeli $\Delta>0\Leftrightarrow{-12m+13>0}\Leftrightarrow{12m<13}\Leftrightarrow{m<1\frac{1}{12}}$ równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{13-12m}}{2(m-1)}\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{13-12m}}{2(m-1)}$
Jeżeli $\Delta=0\Leftrightarrow{-12m+13=0}\Leftrightarrow{m=1\frac{1}{12}}$ równanie ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty:

$x_0=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2(m-1)}$
Jeżeli $\Delta<0\Leftrightarrow{m>1\frac{1}{12}}$ równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

Rozwiązanie takiego równania jest dość skomplikowane, jednak opłaca się to. Zauważ, że tak naprawdę rozwiązaliśmy nieskończenie wiele różnych równań kwadratowych i jedno liniowe, gdyż za parametr m możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą!

Oto inny, bardziej złożony przykład.

Zadanie

Rozwiązać równanie ze względu na zmienną x przy założeniu, że parametr k jest różny od zera:

Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym, ponieważ k jest różne od zera:
Mamy tutaj:
$a=k\\b=1\\c=k$
Obliczamy wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac=1-4k^2=-4(k^2-\frac{1}{4})=-4(k-\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})$

Rozłożyliśmy wyróżnik na czynniki liniowe, aby łatwiej można było badać jego znak.
Możliwe są trzy przypadki. Musimy je wszystkie rozpatrzyć. Wcześniej warto sporządzić szkic wykresu, na podstawie którego można odczytać rozwiązanie. Mamy już miejsca zerowe: 1/2 i -1/2, ponieważ a=-4, więc ramiona paraboli skierowane są w dół.
wykres

Jeżeli $\Delta>0\Leftrightarrow{-4(k-\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})>0}$ , czyli dla $k\in(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{1-4k^2}}{2k}\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{1-4k^2}}{2k}$
Jeżeli $\Delta=0\Leftrightarrow{k=-\frac{1}{2}}\quad{lub}\quad{m}=\frac{1}{2}$ równanie ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty:
$x_0=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2k}$
Jeżeli $\Delta<0\Leftrightarrow{-4(k-\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})<0}$ , czyli dla $k\in(-\infty;-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};+\infty)$ równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dla jakiej wartości parametru m równanie

ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0

ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie $\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}$ w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie $\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}$ w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Określić liczbę rozwiązań równania

w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakiej wartości parametru m równanie

ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania

jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ tego samego znaku, spełniające warunek |x₁-x₂|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂, spełniające warunek

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie kwadratowe

Równanie w postaci ax^2+bx+c=0 nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.

Wzory Viete'a

Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki, to prawdziwe są wzory Viete'a: x_1+x_2=-\frac{b {a} x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}.

Równanie dwukwadratowe

Równanie w postaci ax^4+bx^2+c=0 nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby rozwiązać takie równanie wystarczy dokonać podstawienia z=x2.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.