Równanie kwadratowe z parametrem
Czasem w równaniach stosuje się oznaczenia literowe, nazywane parametrami, a równanie zawierające takie oznaczenia literowe nazywamy równaniem z parametrem. Zawsze w takim równaniu musimy wskazać niewiadomą lub ze względu na jaką zmienną należy rozwiązać dane równanie. Parametryzujemy równania w celu jego uogólnienia. Rozwiązując równanie z parametrem, rozwiązujemy całą grupę (klasę) równań.
Poniżej przykład zadania, w którym używa się parametru.
Zadanie
Rozwiązać równanie ze względu na zmienną x:
Aby powyższe równanie mogło być równaniem kwadratowym wartość współczynnika przy drugiej potędze x musi być różna od zera:
Dla m=1 mamy równanie liniowe x+3=0, którego rozwiązaniem jest liczba -3.
Zajmijmy się jednak przypadkiem równania kwadratowego. Mamy tutaj:
Obliczamy wyróżnik
Możliwe są trzy przypadki. Musimy je wszystkie rozpatrzyć.
- Jeżeli
równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
- Jeżeli
równanie ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty:
- Jeżeli
równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
Rozwiązanie takiego równania jest dość skomplikowane, jednak opłaca się to. Zauważ, że tak naprawdę rozwiązaliśmy nieskończenie wiele różnych równań kwadratowych i jedno liniowe, gdyż za parametr m możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą!
Oto inny, bardziej złożony przykład.
Zadanie
Rozwiązać równanie ze względu na zmienną x przy założeniu, że parametr k jest różny od zera:
Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym, ponieważ k jest różne od zera:
Mamy tutaj:
Obliczamy wyróżnik
Rozłożyliśmy wyróżnik na czynniki liniowe, aby łatwiej można było badać jego znak.
Możliwe są trzy przypadki. Musimy je wszystkie rozpatrzyć. Wcześniej warto sporządzić szkic wykresu, na podstawie którego można odczytać rozwiązanie. Mamy już miejsca zerowe: 1/2 i -1/2, ponieważ a=-4, więc ramiona paraboli skierowane są w dół.
- Jeżeli
, czyli dla
równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
- Jeżeli
równanie ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty:
- Jeżeli
, czyli dla
równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru m równanie
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania
Zadanie nr 5.
Określić liczbę rozwiązań równania
Zadanie nr 6.
Dla jakiej wartości parametru m równanie
Zadanie nr 7.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy

Inne zagadnienia z tej lekcji
Równanie kwadratowe

Równanie w postaci ax^2+bx+c=0 nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.
Wzory Viete'a

Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki, to prawdziwe są wzory Viete'a: x_1+x_2=-\frac{b {a} x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}.
Równanie dwukwadratowe

Równanie w postaci ax^4+bx^2+c=0 nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby rozwiązać takie równanie wystarczy dokonać podstawienia z=x2.
© medianauka.pl, 2009-08-15, ART-274