Nauka » Matematyka » Równanie kwadratowe z parametrem

Zadanie - równanie z parametrem

Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania

jest najmniejsza.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x^2-mx-m-1=0 \\\Delta=m^2+4m+4=(m+2)^2\geq 0$

Rysunek pomocniczy

$m\in R \\ \sqrt{\Delta}=m+2\\ x_1=\frac{m-(m+2)}{2}=-1\\ x_2=\frac{m+m+2}{2}=\frac{2m+2}{2}=m+1$

Funkcja f(m) ma najmniejszą wartość w punkcie m_w równą f_w(m), gdzie W(m_w,f_w(m)) jest wierzchołkiem paraboli.
$\Delta_m=2^2-4\cdot2=-4 \\ m_w=-\frac{2}{2}=-1 \\ f_w(m_w)=-\frac{-4}{4}=1$
Dla m=-1 suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza - równa 1.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zanim obliczymy sumę kwadratów pierwiastków równania, musimy znaleźć te pierwiastki. Mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$x^2-mx-m-1=0 \\ a=1\\ b=-m \\c=-m-1 \\ \Delta=b^2-4ac=\\ =(-m)^2-4\cdot 1\cdot (-m-1)=m^2+4m+4=(m+2)^2$

Aby równanie miało pierwiastki (jeden podwójny lub dwa różne), wyróżnik trójmianu musi być większy od zera lub równy zero.

$\Delta\geq 0\\ (m+2)^2\geq 0$

Powyższy trójmian ma jedno miejsce zerowe (m=-2), ramiona paraboli skierowane są do góry (współczynnik przy m² jest dodatni), interesują nas wartości dodatnie lub równe zero. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Zatem dla każdej wartości m równanie x²-mx-m-1=0 ma dwa pierwiastki lub jeden pierwiastek podwójny. Obliczamy ich wartość:

$\Delta=(m+2)^2 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{(m+2)^2}=m+2\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m-(m+2)}{2}=-1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m+m+2}{2}=\frac{2m+2}{2}=m+1$

Przechodzimy do sedna zadania. Mamy znaleźć taką wartość parametru m, aby suma kwadratów pierwiastków równania była najmniejsza. Obliczamy więc sumę kwadratów pierwiastków:

Otrzymaliśmy pewną funkcję zmiennej m:

Jej wykresem jest parabola, której ramiona skierowane są do góry. Funkcja ta (funkcja kwadratowa) ma najmniejszą wartość w punkcie m_w równą f_w(m), gdzie W(m_w,f_w(m)) jest wierzchołkiem paraboli. Mówiąc prościej: współrzędne wierzchołka tej paraboli stanowią rozwiązanie zadania, gdyż w tym punkcie funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. Znamy wzór na współrzędne wierzchołka:

$x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}$