Logo Media Nauka

Zadanie - równanie z parametrem

Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x^2-mx-m-1=0 \\\Delta=m^2+4m+4=(m+2)^2\geq 0

Rysunek pomocniczy

m\in R \\ \sqrt{\Delta}=m+2\\ x_1=\frac{m-(m+2)}{2}=-1\\ x_2=\frac{m+m+2}{2}=\frac{2m+2}{2}=m+1
x_1^2+x_2^2=(-1)^2+(m+1)^2=m^2+2m+2=f(m)

Funkcja f(m) ma najmniejszą wartość w punkcie mw równą fw(m), gdzie W(mw,fw(m)) jest wierzchołkiem paraboli.
\Delta_m=2^2-4\cdot2=-4 \\ m_w=-\frac{2}{2}=-1 \\ f_w(m_w)=-\frac{-4}{4}=1
Dla m=-1 suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza - równa 1.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zanim obliczymy sumę kwadratów pierwiastków równania, musimy znaleźć te pierwiastki. Mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

x^2-mx-m-1=0 \\ a=1\\ b=-m \\c=-m-1 \\ \Delta=b^2-4ac=\\ =(-m)^2-4\cdot 1\cdot (-m-1)=m^2+4m+4=(m+2)^2

Aby równanie miało pierwiastki (jeden podwójny lub dwa różne), wyróżnik trójmianu musi być większy od zera lub równy zero.

\Delta\geq 0\\ (m+2)^2\geq 0

Powyższy trójmian ma jedno miejsce zerowe (m=-2), ramiona paraboli skierowane są do góry (współczynnik przy m2 jest dodatni), interesują nas wartości dodatnie lub równe zero. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Rysunek pomocniczy

Zatem dla każdej wartości m równanie x2-mx-m-1=0 ma dwa pierwiastki lub jeden pierwiastek podwójny. Obliczamy ich wartość:

\Delta=(m+2)^2 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{(m+2)^2}=m+2\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m-(m+2)}{2}=-1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m+m+2}{2}=\frac{2m+2}{2}=m+1

Przechodzimy do sedna zadania. Mamy znaleźć taką wartość parametru m, aby suma kwadratów pierwiastków równania była najmniejsza. Obliczamy więc sumę kwadratów pierwiastków:

x_1^2+x_2^2=(-1)^2+(m+1)^2=1+m^2+2m+1=m^2+2m+2

Otrzymaliśmy pewną funkcję zmiennej m:

f(m)=m^2+2m+2

Jej wykresem jest parabola, której ramiona skierowane są do góry. Funkcja ta (funkcja kwadratowa) ma najmniejszą wartość w punkcie mw równą fw(m), gdzie W(mw,fw(m)) jest wierzchołkiem paraboli. Mówiąc prościej: współrzędne wierzchołka tej paraboli stanowią rozwiązanie zadania, gdyż w tym punkcie funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. Znamy wzór na współrzędne wierzchołka:

x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}

Wykonujemy więc obliczenia, pamiętając, że analizujemy funkcję f(m):

\Delta_m=2^2-4\cdot2=-4 \\ x_w=m_w=-\frac{2}{2}=-1 \\ y_w=f_w(m)=-\frac{-4}{4}=1

ksiązki Odpowiedź

Dla m=-1 suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza - równa 1.

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-615



Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.