Zadanie - równanie z parametrem


Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x^2-mx-m-1=0 \\\Delta=m^2+4m+4=(m+2)^2\geq 0

Rysunek pomocniczy

m\in R \\ \sqrt{\Delta}=m+2\\ x_1=\frac{m-(m+2)}{2}=-1\\ x_2=\frac{m+m+2}{2}=\frac{2m+2}{2}=m+1
x_1^2+x_2^2=(-1)^2+(m+1)^2=m^2+2m+2=f(m)

Funkcja f(m) ma najmniejszą wartość w punkcie mw równą fw(m), gdzie W(mw,fw(m)) jest wierzchołkiem paraboli.
\Delta_m=2^2-4\cdot2=-4 \\ m_w=-\frac{2}{2}=-1 \\ f_w(m_w)=-\frac{-4}{4}=1
Dla m=-1 suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza - równa 1.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zanim obliczymy sumę kwadratów pierwiastków równania, musimy znaleźć te pierwiastki. Mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

x^2-mx-m-1=0 \\ a=1\\ b=-m \\c=-m-1 \\ \Delta=b^2-4ac=\\ =(-m)^2-4\cdot 1\cdot (-m-1)=m^2+4m+4=(m+2)^2

Aby równanie miało pierwiastki (jeden podwójny lub dwa różne), wyróżnik trójmianu musi być większy od zera lub równy zero.

\Delta\geq 0\\ (m+2)^2\geq 0

Powyższy trójmian ma jedno miejsce zerowe (m=-2), ramiona paraboli skierowane są do góry (współczynnik przy m2 jest dodatni), interesują nas wartości dodatnie lub równe zero. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Rysunek pomocniczy

Zatem dla każdej wartości m równanie x2-mx-m-1=0 ma dwa pierwiastki lub jeden pierwiastek podwójny. Obliczamy ich wartość:

\Delta=(m+2)^2 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{(m+2)^2}=m+2\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m-(m+2)}{2}=-1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m+m+2}{2}=\frac{2m+2}{2}=m+1

Przechodzimy do sedna zadania. Mamy znaleźć taką wartość parametru m, aby suma kwadratów pierwiastków równania była najmniejsza. Obliczamy więc sumę kwadratów pierwiastków:

x_1^2+x_2^2=(-1)^2+(m+1)^2=1+m^2+2m+1=m^2+2m+2

Otrzymaliśmy pewną funkcję zmiennej m:

f(m)=m^2+2m+2

Jej wykresem jest parabola, której ramiona skierowane są do góry. Funkcja ta (funkcja kwadratowa) ma najmniejszą wartość w punkcie mw równą fw(m), gdzie W(mw,fw(m)) jest wierzchołkiem paraboli. Mówiąc prościej: współrzędne wierzchołka tej paraboli stanowią rozwiązanie zadania, gdyż w tym punkcie funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. Znamy wzór na współrzędne wierzchołka:

x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}

Wykonujemy więc obliczenia, pamiętając, że analizujemy funkcję f(m):

\Delta_m=2^2-4\cdot2=-4 \\ x_w=m_w=-\frac{2}{2}=-1 \\ y_w=f_w(m)=-\frac{-4}{4}=1

ksiązki Odpowiedź

Dla m=-1 suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza - równa 1.

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-615

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Matematyka olimpijska. Algebra i teoria liczb
Analiza matematyczna w zadaniach Krysicki włodarski
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Liczby, ich dzieje, rodzaje, własności
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.