Zadanie - równanie z parametrem

Rozwiązanie zadania uproszczone




Funkcja f(m) ma najmniejszą wartość w punkcie mw równą fw(m), gdzie W(mw,fw(m)) jest wierzchołkiem paraboli.

Dla m=-1 suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza - równa 1.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Zanim obliczymy sumę kwadratów pierwiastków równania, musimy znaleźć te pierwiastki. Mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

Aby równanie miało pierwiastki (jeden podwójny lub dwa różne), wyróżnik trójmianu musi być większy od zera lub równy zero.

Powyższy trójmian ma jedno miejsce zerowe (m=-2), ramiona paraboli skierowane są do góry (współczynnik przy m2 jest dodatni), interesują nas wartości dodatnie lub równe zero. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Zatem dla każdej wartości m równanie x2-mx-m-1=0 ma dwa pierwiastki lub jeden pierwiastek podwójny. Obliczamy ich wartość:

Przechodzimy do sedna zadania. Mamy znaleźć taką wartość parametru m, aby suma kwadratów pierwiastków równania była najmniejsza. Obliczamy więc sumę kwadratów pierwiastków:

Otrzymaliśmy pewną funkcję zmiennej m:

Jej wykresem jest parabola, której ramiona skierowane są do góry. Funkcja ta (funkcja kwadratowa) ma najmniejszą wartość w punkcie mw równą fw(m), gdzie W(mw,fw(m)) jest wierzchołkiem paraboli. Mówiąc prościej: współrzędne wierzchołka tej paraboli stanowią rozwiązanie zadania, gdyż w tym punkcie funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. Znamy wzór na współrzędne wierzchołka:

Wykonujemy więc obliczenia, pamiętając, że analizujemy funkcję f(m):

Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-615
Zadania podobne

Dla jakiej wartości parametru m równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Określić liczbę rozwiązań równania

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakiej wartości parametru m równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy


Pokaż rozwiązanie zadania