Zadanie maturalne nr 11, matura 2021 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).
Rozwiązanie zadania
Trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki, jeśli jego wyróżnik kwadratowy jest większy od zera:
\(a=4, b=-2(m+1), c=m\)
\(\Delta = [-2(m+1)^2]-16m>0\)
\(4(m^2+2m+1)-16m>0/:4\)
\(m^2-2m+1>0\)
\((m-1)^2>0\)
\(m\neq 1\)
Zatem dla wszystkich wartości parametru m poza 1 trójmian ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste.
Zbadajmy teraz warunek, który mają spełniać pierwiastki:
\(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)
\(x_1+x_2\leq \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)
Z warunku różności pierwiastków od zera od zera otrzymujemy:
\(x_1\cdot x_2\neq 0\)
Korzystamy ze wzorów Viete'a dla powyższej zależności:
\(x_1\cdot x_2\neq 0\)
\(\frac{m}{4}\neq 0\)
\(m\neq 0\)
Ponadto z drugiego warunku:
\(-\frac{b}{a}\leq \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}\)
\(-\frac{b}{a}\leq -\frac{b}{c}\)
\(-\frac{b}{a} + \frac{b}{c}\leq 0\)
\(\frac{ab}{ac} - \frac{bc}{ac}\leq 0\)
\(\frac{b(a-c)}{ac}\)
\(abc(a-c)\leq 0\)
\(4\cdot [-2(m+1)]\cdot m(4-m)\leq 0\)
\( -8m(m+1)(4-m)\leq 0\)
\(8m(m+1)(m-4)\leq 0\)
Sporządzamy siatkę znaków.
| m | \((-\infty;-1)\) | -1 | \((-1;0)\) | 0 | \((0;4)\) | 4 | \((4;+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| m | - | - | - | 0 | + | + | + |
| m+1 | - | 0 | + | + | + | + | + |
| m-4 | - | - | - | - | - | 0 | + |
| W(m) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
Zatem
\(m\in (-\infty;-1\rangle \cup (0;4\rangle \)
Pamiętając o warunku \(m\neq 1\) otrzymujemy rozwiązanie:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-06, ZAD-4836
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 6.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Zadanie nr 7.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).