Logo Media Nauka

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem

Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem:

x\neq a \ i \ x\neq 0
\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\\ \frac{2}{x-a}-\frac{x-a}{x}=0\\ \frac{2x}{x(x-a)}-\frac{(x-a)(x-a)}{x(x-a)}=0\\ \frac{2x-(x-a)^2}{x(x-a)}=0
2x-(x-a)^2=0\\2x-(x^2-2ax+a^2)=0 \\ 2x-x^2+2ax-a^2=0\\ -x^2+(2+2a)x-a^2=0
\Delta=(2+2a)^2-4\cdot (-1)\cdot (-a^2)=\\ =4+8a+\cancel{4a^2}-\cancel{4a^2}=8a+4

1) Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

8a+4>0 \\ 8a>-4/:8 \\a>-\frac{1}{2}
x_1=\frac{-2-2a-\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a-2\sqrt{2a+1}}{-2}=\\ =\frac{\cancel{-2}(1+a+\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a+\sqrt{1+2a}\\ x_2=\frac{-2-2a+\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a+2\sqrt{2a+1}}{-2}=\\ =\frac{\cancel{-2}(1+a-\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a-\sqrt{1+2a}

2) Jeżeli ∆=0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

8a+4=0 \\ a=-\frac{1}{2}
x_0=\frac{-2-2a}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a)}{\cancel{-2}}=1+a

3) Jeżeli ∆<0 równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.

8a+4<0 \\ a<-\frac{1}{2}
Równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} ma dwa rozwiązania x_1=1+a+\sqrt{1+2a}, \ x_2=1+a-\sqrt{1+2a} dla a>-\frac{1}{2}, jedno rozwiązanie x_0=a+1 dla a=-\frac{1}{2} i zero rozwiązań dla a<-\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem:

x\neq a \ i \ x\neq 0

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.

\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\\ \frac{2}{x-a}-\frac{x-a}{x}=0\\ \frac{2x}{x(x-a)}-\frac{(x-a)(x-a)}{x(x-a)}=0\\ \frac{2x-(x-a)^2}{x(x-a)}=0

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.

2x-(x-a)^2=0\\2x-(x^2-2ax+a^2)=0 \\ 2x-x^2+2ax-a^2=0\\ -x^2+(2+2a)x-a^2=0

Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

a_1=-1\\ b_1=2+2a \\c_1=-a^2 \\ \Delta=b_1^2-4a_1c_1=(2+2a)^2-4\cdot (-1)\cdot (-a^2)=\\ =4+8a+\cancel{4a^2}-\cancel{4a^2}=8a+4

W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

1) Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

\Delta>0\\ 8a+4>0 \\ 8a>-4/:8 \\a>-\frac{1}{2}

Obliczamy pierwiastki równania:

x_1=\frac{-b_1-\sqrt{\Delta}}{2a_1}=\frac{-2-2a-\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a-\sqrt{4(2a+1)}}{-2}=\\ =\frac{-2-2a-2\sqrt{2a+1}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a+\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a+\sqrt{1+2a}\\ x_2=\frac{-b_1+\sqrt{\Delta}}{2a_1}=\frac{-2-2a+\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a+\sqrt{4(2a+1)}}{-2}=\\ =\frac{-2-2a+2\sqrt{2a+1}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a-\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a-\sqrt{1+2a}

Pierwiastki należą do dziedziny równania.

2) Jeżeli ∆=0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

\Delta=0\\ 8a+4=0 \\ 8a=-4/:8 \\a=-\frac{1}{2}

Obliczamy pierwiastek równania:

x_0=\frac{-b_1}{2a_1}=\frac{-2-2a}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a)}{\cancel{-2}}=1+a

Pierwiastek należy do dziedziny równania.

3) Jeżeli ∆<0 równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.

\Delta<0\\ 8a+4<0 \\ 8a<-4/:8 \\a<-\frac{1}{2}

ksiązki Odpowiedź

Równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} ma dwa rozwiązania x_1=1+a+\sqrt{1+2a}, \ x_2=1+a-\sqrt{1+2a} dla a>-\frac{1}{2}, jedno rozwiązanie x_0=a+1 dla a=-\frac{1}{2} i zero rozwiązań dla a<-\frac{1}{2}

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-612



Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.