Strona główna » Matematyka » Równanie kwadratowe z parametrem

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem

Rozwiązać równanie $\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}$ w zależności od parametru a.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem:

$x\neq a \ i \ x\neq 0$
$\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\\ \frac{2}{x-a}-\frac{x-a}{x}=0\\ \frac{2x}{x(x-a)}-\frac{(x-a)(x-a)}{x(x-a)}=0\\ \frac{2x-(x-a)^2}{x(x-a)}=0$
$2x-(x-a)^2=0\\2x-(x^2-2ax+a^2)=0 \\ 2x-x^2+2ax-a^2=0\\ -x^2+(2+2a)x-a^2=0$
$\Delta=(2+2a)^2-4\cdot (-1)\cdot (-a^2)=\\ =4+8a+\cancel{4a^2}-\cancel{4a^2}=8a+4$

1) Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$8a+4>0 \\ 8a>-4/:8 \\a>-\frac{1}{2}$
$x_1=\frac{-2-2a-\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a-2\sqrt{2a+1}}{-2}=\\ =\frac{\cancel{-2}(1+a+\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a+\sqrt{1+2a}\\ x_2=\frac{-2-2a+\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a+2\sqrt{2a+1}}{-2}=\\ =\frac{\cancel{-2}(1+a-\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a-\sqrt{1+2a}$

2) Jeżeli ∆=0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

$8a+4=0 \\ a=-\frac{1}{2}$
$x_0=\frac{-2-2a}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a)}{\cancel{-2}}=1+a$

3) Jeżeli ∆<0 równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.

$8a+4<0 \\ a<-\frac{1}{2}$
Równanie $\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}$ ma dwa rozwiązania $x_1=1+a+\sqrt{1+2a}, \ x_2=1+a-\sqrt{1+2a}$ dla $a>-\frac{1}{2}$ , jedno rozwiązanie

dla $a=-\frac{1}{2}$ i zero rozwiązań dla $a<-\frac{1}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem:

$x\neq a \ i \ x\neq 0$

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.

$\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\\ \frac{2}{x-a}-\frac{x-a}{x}=0\\ \frac{2x}{x(x-a)}-\frac{(x-a)(x-a)}{x(x-a)}=0\\ \frac{2x-(x-a)^2}{x(x-a)}=0$

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.

$2x-(x-a)^2=0\\2x-(x^2-2ax+a^2)=0 \\ 2x-x^2+2ax-a^2=0\\ -x^2+(2+2a)x-a^2=0$

Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$a_1=-1\\ b_1=2+2a \\c_1=-a^2 \\ \Delta=b_1^2-4a_1c_1=(2+2a)^2-4\cdot (-1)\cdot (-a^2)=\\ =4+8a+\cancel{4a^2}-\cancel{4a^2}=8a+4$

W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

1) Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$\Delta>0\\ 8a+4>0 \\ 8a>-4/:8 \\a>-\frac{1}{2}$

Obliczamy pierwiastki równania:

$x_1=\frac{-b_1-\sqrt{\Delta}}{2a_1}=\frac{-2-2a-\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a-\sqrt{4(2a+1)}}{-2}=\\ =\frac{-2-2a-2\sqrt{2a+1}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a+\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a+\sqrt{1+2a}\\ x_2=\frac{-b_1+\sqrt{\Delta}}{2a_1}=\frac{-2-2a+\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a+\sqrt{4(2a+1)}}{-2}=\\ =\frac{-2-2a+2\sqrt{2a+1}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a-\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a-\sqrt{1+2a}$