Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Rozwiązanie zadania
Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem \(x\neq a\) i \(x\neq 0\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.
\(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\)
\(\frac{2}{x-a}-\frac{x-a}{x}=0\)
\(\frac{2x}{x(x-a)}-\frac{(x-a)(x-a)}{x(x-a)}=0\)
\(\frac{2x-(x-a)^2}{x(x-a)}=0\)
Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.
\(2x-(x-a)^2=0\)
\(2x-(x^2-2ax+a^2)=0\)
\(2x-x^2+2ax-a^2=0\)
\(-x^2+(2+2a)x-a^2=0\)
Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(a_1=-1\)
\(b_1=2+2a\)
\(c_1=-a^2\)
\(\Delta=b_1^2-4a_1c_1=(2+2a)^2-4\cdot (-1)\cdot (-a^2)=\)
\(=4+8a+\cancel{4a^2}-\cancel{4a^2}=8a+4\)
W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.
1) Jeżeli \(\Delta>0\) równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
\(\Delta>0\)
\(8a+4>0\)
\(8a>-4/:8\)
\(a>-\frac{1}{2}\)
Obliczamy pierwiastki równania:
\(x_1=\frac{-b_1-\sqrt{\Delta}}{2a_1}=\frac{-2-2a-\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a-\sqrt{4(2a+1)}}{-2}=\)
\(=\frac{-2-2a-2\sqrt{2a+1}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a+\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a+\sqrt{1+2a}\)
\(x_2=\frac{-b_1+\sqrt{\Delta}}{2a_1}=\frac{-2-2a+\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a+\sqrt{4(2a+1)}}{-2}=\)
\(=\frac{-2-2a+2\sqrt{2a+1}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a-\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a-\sqrt{1+2a}\)
Pierwiastki należą do dziedziny równania.
2) Jeżeli \(\Delta =0\) równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.
\(\Delta=0\)
\(8a+4=0\)
\(8a=-4/:8\)
\(a=-\frac{1}{2}\)
Obliczamy pierwiastek równania:
\(x_0=\frac{-b_1}{2a_1}=\frac{-2-2a}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a)}{\cancel{-2}}=1+a\)
Pierwiastek należy do dziedziny równania.
3) Jeżeli \(\Delta<0\) równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.
\(\Delta<0\)
\(8a+4<0\)
\(8a<-4/:8\)
\(a<-\frac{1}{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-612
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Zadanie nr 6.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).