Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem


Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem:

x\neq a \ i \ x\neq 0
\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\\ \frac{2}{x-a}-\frac{x-a}{x}=0\\ \frac{2x}{x(x-a)}-\frac{(x-a)(x-a)}{x(x-a)}=0\\ \frac{2x-(x-a)^2}{x(x-a)}=0
2x-(x-a)^2=0\\2x-(x^2-2ax+a^2)=0 \\ 2x-x^2+2ax-a^2=0\\ -x^2+(2+2a)x-a^2=0
\Delta=(2+2a)^2-4\cdot (-1)\cdot (-a^2)=\\ =4+8a+\cancel{4a^2}-\cancel{4a^2}=8a+4

1) Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

8a+4>0 \\ 8a>-4/:8 \\a>-\frac{1}{2}
x_1=\frac{-2-2a-\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a-2\sqrt{2a+1}}{-2}=\\ =\frac{\cancel{-2}(1+a+\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a+\sqrt{1+2a}\\ x_2=\frac{-2-2a+\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a+2\sqrt{2a+1}}{-2}=\\ =\frac{\cancel{-2}(1+a-\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a-\sqrt{1+2a}

2) Jeżeli ∆=0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

8a+4=0 \\ a=-\frac{1}{2}
x_0=\frac{-2-2a}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a)}{\cancel{-2}}=1+a

3) Jeżeli ∆<0 równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.

8a+4<0 \\ a<-\frac{1}{2}
Równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} ma dwa rozwiązania x_1=1+a+\sqrt{1+2a}, \ x_2=1+a-\sqrt{1+2a} dla a>-\frac{1}{2}, jedno rozwiązanie x_0=a+1 dla a=-\frac{1}{2} i zero rozwiązań dla a<-\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem:

x\neq a \ i \ x\neq 0

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.

\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\\ \frac{2}{x-a}-\frac{x-a}{x}=0\\ \frac{2x}{x(x-a)}-\frac{(x-a)(x-a)}{x(x-a)}=0\\ \frac{2x-(x-a)^2}{x(x-a)}=0

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.

2x-(x-a)^2=0\\2x-(x^2-2ax+a^2)=0 \\ 2x-x^2+2ax-a^2=0\\ -x^2+(2+2a)x-a^2=0

Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

a_1=-1\\ b_1=2+2a \\c_1=-a^2 \\ \Delta=b_1^2-4a_1c_1=(2+2a)^2-4\cdot (-1)\cdot (-a^2)=\\ =4+8a+\cancel{4a^2}-\cancel{4a^2}=8a+4

W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

1) Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

\Delta>0\\ 8a+4>0 \\ 8a>-4/:8 \\a>-\frac{1}{2}

Obliczamy pierwiastki równania:

x_1=\frac{-b_1-\sqrt{\Delta}}{2a_1}=\frac{-2-2a-\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a-\sqrt{4(2a+1)}}{-2}=\\ =\frac{-2-2a-2\sqrt{2a+1}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a+\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a+\sqrt{1+2a}\\ x_2=\frac{-b_1+\sqrt{\Delta}}{2a_1}=\frac{-2-2a+\sqrt{8a+4}}{-2}=\frac{-2-2a+\sqrt{4(2a+1)}}{-2}=\\ =\frac{-2-2a+2\sqrt{2a+1}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a-\sqrt{2a+1})}{\cancel{-2}}=1+a-\sqrt{1+2a}

Pierwiastki należą do dziedziny równania.

2) Jeżeli ∆=0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

\Delta=0\\ 8a+4=0 \\ 8a=-4/:8 \\a=-\frac{1}{2}

Obliczamy pierwiastek równania:

x_0=\frac{-b_1}{2a_1}=\frac{-2-2a}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+a)}{\cancel{-2}}=1+a

Pierwiastek należy do dziedziny równania.

3) Jeżeli ∆<0 równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.

\Delta<0\\ 8a+4<0 \\ 8a<-4/:8 \\a<-\frac{1}{2}

ksiązki Odpowiedź

Równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} ma dwa rozwiązania x_1=1+a+\sqrt{1+2a}, \ x_2=1+a-\sqrt{1+2a} dla a>-\frac{1}{2}, jedno rozwiązanie x_0=a+1 dla a=-\frac{1}{2} i zero rozwiązań dla a<-\frac{1}{2}

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-612


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.