Strona główna » Matematyka » Równanie kwadratowe z parametrem

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem

Dla jakiej wartości parametru m równanie

ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Gdy m=0 otrzymujemy równanie sprzeczne: -1=0
Równanie nie ma rozwiązań.
Gdy $m\neq 0$ :
$\Delta=16m^2-4m(1-m)=\\ =16m^2-4m+4m^2=20m^2-4m$
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie $x_{0}=-\frac{b}{2a}$ gdy $\Delta=0$
$20m^2-4m=0/:20 \\ m^2-\frac{1}{5}m=0 \\ m(m-\frac{1}{5})=0$
Liczba 0 nie spełnia warunków zadania.
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{2a}=-2$
Dla m=1/5 równanie

ma jedno rozwiązanie x=-2.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przy x² mamy parametr. Oznacza to, że mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, gdy m jest różne od zera oraz przypadek, gdy m=0

Przypadek 1

Gdy m=0 mamy:

$0\cdot x^2+4\cdot 0\cdot x-0+1=0 \\ -1=0$

Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem równanie nie ma rozwiązań.

Przypadek 2

Gdy $m\neq 0$ mamy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$a=m \\ b=4m \\ c=-m+1=1-m \\ \Delta=b^2-4ac \\ \Delta=(4m)^2-4\cdot m\cdot (1-m)=16m^2-4m(1-m)=\\ =16m^2-4m+4m^2=20m^2-4m$

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie $x_{0}=-\frac{b}{2a}$ gdy $\Delta=0$

$\Delta=0 \\ 20m^2-4m=0/:20 \\ m^2-\frac{4}{20}m=0 \\ m^2-\frac{1}{5}m=0 \\ m(m-\frac{1}{5})=0$

Powyższe równanie ma dwa pierwiastki: 0 i 1/5. Liczba 0 nie spełnia warunków zadania (patrz przypadek pierwszy). Liczba 1/5 jest wartością parametru m, dla którego równanie ma jedno rozwiązanie. Znajdźmy je:

$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{2a}=-2$