Logo Media Nauka

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem

Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Gdy m=0 otrzymujemy równanie sprzeczne: -1=0
Równanie nie ma rozwiązań.
Gdy m\neq 0:
\Delta=16m^2-4m(1-m)=\\ =16m^2-4m+4m^2=20m^2-4m
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie x_{0}=-\frac{b}{2a} gdy \Delta=0
20m^2-4m=0/:20 \\ m^2-\frac{1}{5}m=0 \\ m(m-\frac{1}{5})=0
Liczba 0 nie spełnia warunków zadania.
x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{2a}=-2
Dla m=1/5 równanie mx^2+4mx-m+1=0
ma jedno rozwiązanie x=-2.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przy x2 mamy parametr. Oznacza to, że mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, gdy m jest różne od zera oraz przypadek, gdy m=0

Przypadek 1

Gdy m=0 mamy:

0\cdot x^2+4\cdot 0\cdot x-0+1=0 \\ -1=0

Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem równanie nie ma rozwiązań.

Przypadek 2

Gdy m\neq 0 mamy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

a=m \\ b=4m \\ c=-m+1=1-m \\ \Delta=b^2-4ac \\ \Delta=(4m)^2-4\cdot m\cdot (1-m)=16m^2-4m(1-m)=\\ =16m^2-4m+4m^2=20m^2-4m

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie x_{0}=-\frac{b}{2a} gdy \Delta=0

\Delta=0 \\ 20m^2-4m=0/:20 \\ m^2-\frac{4}{20}m=0 \\ m^2-\frac{1}{5}m=0 \\ m(m-\frac{1}{5})=0

Powyższe równanie ma dwa pierwiastki: 0 i 1/5. Liczba 0 nie spełnia warunków zadania (patrz przypadek pierwszy). Liczba 1/5 jest wartością parametru m, dla którego równanie ma jedno rozwiązanie. Znajdźmy je:

x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{2a}=-2

ksiązki Odpowiedź

Dla m=1/5 równanie mx^2+4mx-m+1=0
ma jedno rozwiązanie x=-2.

© medianauka.pl, 2009-12-27, ZAD-449



Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.