Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem


Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Gdy m=0 otrzymujemy równanie sprzeczne: -1=0
Równanie nie ma rozwiązań.
Gdy m\neq 0:
\Delta=16m^2-4m(1-m)=\\ =16m^2-4m+4m^2=20m^2-4m
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie x_{0}=-\frac{b}{2a} gdy \Delta=0
20m^2-4m=0/:20 \\ m^2-\frac{1}{5}m=0 \\ m(m-\frac{1}{5})=0
Liczba 0 nie spełnia warunków zadania.
x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{2a}=-2
Dla m=1/5 równanie mx^2+4mx-m+1=0
ma jedno rozwiązanie x=-2.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przy x2 mamy parametr. Oznacza to, że mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, gdy m jest różne od zera oraz przypadek, gdy m=0

Przypadek 1

Gdy m=0 mamy:

0\cdot x^2+4\cdot 0\cdot x-0+1=0 \\ -1=0

Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem równanie nie ma rozwiązań.

Przypadek 2

Gdy m\neq 0 mamy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

a=m \\ b=4m \\ c=-m+1=1-m \\ \Delta=b^2-4ac \\ \Delta=(4m)^2-4\cdot m\cdot (1-m)=16m^2-4m(1-m)=\\ =16m^2-4m+4m^2=20m^2-4m

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie x_{0}=-\frac{b}{2a} gdy \Delta=0

\Delta=0 \\ 20m^2-4m=0/:20 \\ m^2-\frac{4}{20}m=0 \\ m^2-\frac{1}{5}m=0 \\ m(m-\frac{1}{5})=0

Powyższe równanie ma dwa pierwiastki: 0 i 1/5. Liczba 0 nie spełnia warunków zadania (patrz przypadek pierwszy). Liczba 1/5 jest wartością parametru m, dla którego równanie ma jedno rozwiązanie. Znajdźmy je:

x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{2a}=-2

ksiązki Odpowiedź

Dla m=1/5 równanie mx^2+4mx-m+1=0
ma jedno rozwiązanie x=-2.

© medianauka.pl, 2009-12-27, ZAD-449





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.