Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem

Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby nasze równanie było równaniem kwadratowym, współczynnik przy x2 musi być różny od zera.

tło

Mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

(a+3)x^2-(a+1)x+1=0 \\ a_1=a+3\\ b_1=-(a+1) \\c_1=1 \\ \Delta=b_1^2-4a_1c_1=[-(a+1)]^2-4(a+3)\cdot 1=\\ =(a+1)^2-4(a+3)=a^2+2a+1-4a-12=\\ =a^2-2a-11

W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

1) Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

\Delta>0\\ a^2-2a-11>0

Rozwiązujemy nierówność kwadratową:

\Delta_a=(-2)^2+4\cdot 11\cdot 1=48 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\\ a_1=\frac{2-4\sqrt{3}}{2}=1-2\sqrt{3}\appr -2,5 \\ a_2=\frac{2+4\sqrt{3}}{2}=1+2\sqrt{3}\appr 4,5

Ramiona paraboli a2-2a-11 są skierowane do góry, funkcja ma dwa miejsca zerowe, interesują nas wartości dodatnie. Pamiętając o dziedzinie równania (jeżeli a jest równe -3, równanie staje się równaniem liniowym i nie może mieć dwóch rozwiązań), odczytujemy rozwiązanie z wykresu (zakreskowany niebieski obszar):

Rysunek pomocniczy
a\in(-\infty;-3)\cup (-3; 1-2\sqrt{3})\cup (1+2\sqrt{3};+\infty)

2) Jeżeli ∆=0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie. Odczytujemy je z powyższego rysunku (punkty na osi liczbowej)

\Delta=0\\ a_1=1-2\sqrt{3} \\ a_2=1+2\sqrt{3} \\ a_3=-3

Ten ostatni pierwiastek wynika z tego, że gdy a=-3 mamy równanie liniowe, które ma jedno rozwiązanie

3) Jeżeli ∆<0 równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.

Rozwiązanie odczytujemy z powyższego wykresu (zakreskowany czerwony obszar).

a\in (1-2\sqrt{3};1+2\sqrt{3})

ksiązki Odpowiedź

Równanie (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 ma dwa rozwiązania dla a\in(-\infty;-3)\cup (-3; 1-2\sqrt{3})\cup (1+2\sqrt{3};+\infty), jedno rozwiązanie dla a=-3, \ a=1-2\sqrt{3}, \ a=1+2sqrt{3} i zero rozwiązań dla a\in (1-2\sqrt{3};1+2\sqrt{3})

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-613





Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.