Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a Równanie kwadratowe z parametrem

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂, spełniające warunek

Rozwiązanie zadania

Wyznaczamy dziedzinę równania kwadratowego. Współczynnik przy x² musi być różny od zera:

$m+1\neq0\\D: m\neq -1$

Oznaczmy wszystkie współczynniki i obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, który musi być dodatni, aby trójmian miał dwa różne pierwiastki:

$a=m+1\\b=2(m-2)\\c=-m+4\\\Delta=b^2-4ac=(2(m-2))^2-4(m+1)(-m+4)>0\\4(m^2-4m+4)+4(m^2-3m-4)>0/:4\\2m^2-7m>0/:2\\m^2-\frac{7}{2}m>0\\m(m-\frac{7}{2})>0\\m\in (-\infty;0)\cup(\frac{7}{2};\infty)$

Pamiętamy jednocześnie, że m≠-1. Zajmijmy się teraz warunkiem na pierwiastki równania. Nieco je przekształcimy:

$x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2)^2-(x_2^2)^2\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)-(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)=0\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)(1-(x_1^2+x_2^2))=0\\x_1-x_2=0\quad \vee \quad x_1+x_2=0\quad \vee \quad 1-(x_1^2+x_2^2)=0$

Rozwiązujemy więc dalej trzy równania, sprawdzając, czy wynik należy do dziedziny D.

I równanie:

Ten przypadek nas nie interesuje z uwagi na to, że założeniem zadania jest, aby trójmian miał różne pierwiastki.

II równanie rozwiążemy, korzystając ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}$

$x_1+x_2=0\\-\frac{b}{a}=0\\\frac{-2(m-2)}{m+1}=0\\m-2=0\\m=2\not\in D$

III równanie rozwiążemy, korzystając również ze wzorów Viete'a

Odpowiedź

$m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}$

Zadania podobne

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie

ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie $\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}$ w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie $\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}$ w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania

w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie

ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania

jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ tego samego znaku, spełniające warunek |x₁-x₂|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania