Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)


Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wyznaczamy dziedzinę równania kwadratowego. Współczynnik przy x2 musi być różny od zera:

m+1\neq0\\D: m\neq -1

Oznaczmy wszystkie współczynniki i obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, który musi być dodatni, aby trójmian miał dwa różne pierwiastki:

a=m+1\\b=2(m-2)\\c=-m+4\\\Delta=b^2-4ac=(2(m-2))^2-4(m+1)(-m+4)>0\\4(m^2-4m+4)+4(m^2-3m-4)>0/:4\\2m^2-7m>0/:2\\m^2-\frac{7}{2}m>0\\m(m-\frac{7}{2})>0\\m\in (-\infty;0)\cup(\frac{7}{2};\infty)

Pamiętamy jednocześnie, że m≠-1. Zajmijmy się teraz warunkiem na pierwiastki równania. Nieco je przekształcimy:

x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2)^2-(x_2^2)^2\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)-(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)=0\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)(1-(x_1^2+x_2^2))=0\\x_1-x_2=0\quad  \vee \quad x_1+x_2=0\quad \vee \quad 1-(x_1^2+x_2^2)=0

Rozwiązujemy więc dalej trzy równania, sprawdzając, czy wynik należy do dziedziny D.

I równanie:

Ten przypadek nas nie interesuje z uwagi na to, że założeniem zadania jest, aby trójmian miał różne pierwiastki.

II równanie rozwiążemy, korzystając ze wzorów Viete'a:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}
x_1+x_2=0\\-\frac{b}{a}=0\\\frac{-2(m-2)}{m+1}=0\\m-2=0\\m=2\not\in D

III równanie rozwiążemy, korzystając również ze wzorów Viete'a


ksiązki Odpowiedź

m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}

© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3371





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.