Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)


Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wyznaczamy dziedzinę równania kwadratowego. Współczynnik przy x2 musi być różny od zera:

m+1\neq0\\D: m\neq -1

Oznaczmy wszystkie współczynniki i obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, który musi być dodatni, aby trójmian miał dwa różne pierwiastki:

a=m+1\\b=2(m-2)\\c=-m+4\\\Delta=b^2-4ac=(2(m-2))^2-4(m+1)(-m+4)>0\\4(m^2-4m+4)+4(m^2-3m-4)>0/:4\\2m^2-7m>0/:2\\m^2-\frac{7}{2}m>0\\m(m-\frac{7}{2})>0\\m\in (-\infty;0)\cup(\frac{7}{2};\infty)

Pamiętamy jednocześnie, że m≠-1. Zajmijmy się teraz warunkiem na pierwiastki równania. Nieco je przekształcimy:

x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2)^2-(x_2^2)^2\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)-(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)=0\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)(1-(x_1^2+x_2^2))=0\\x_1-x_2=0\quad \vee \quad x_1+x_2=0\quad \vee \quad 1-(x_1^2+x_2^2)=0

Rozwiązujemy więc dalej trzy równania, sprawdzając, czy wynik należy do dziedziny D.

I równanie:

Ten przypadek nas nie interesuje z uwagi na to, że założeniem zadania jest, aby trójmian miał różne pierwiastki.

II równanie rozwiążemy, korzystając ze wzorów Viete'a:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}
x_1+x_2=0\\-\frac{b}{a}=0\\\frac{-2(m-2)}{m+1}=0\\m-2=0\\m=2\not\in D

III równanie rozwiążemy, korzystając również ze wzorów Viete'a


ksiązki Odpowiedź

m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}

© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3371




Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

kulkaZadanie - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk

Ptaki świataPtaki świata
Jacek Twardowski, Kamila Twardowska
Elementy mechaniki kwantowej dla filozofówElementy mechaniki kwantowej dla filozofów
Michał Heller
Astronomia dla początkującychAstronomia dla początkujących
Werner E. Celnik, Hermann-Michael Hahn
Zioła dla układu oddechowego i oczuZioła dla układu oddechowego i oczu
Mateusz Emanuel Senderski

© Media Nauka 2008-2017 r.