Logo Media Nauka

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

ksiązki Rozwiązanie zadania

Wyznaczamy dziedzinę równania kwadratowego. Współczynnik przy x2 musi być różny od zera:

m+1\neq0\\D: m\neq -1

Oznaczmy wszystkie współczynniki i obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, który musi być dodatni, aby trójmian miał dwa różne pierwiastki:

a=m+1\\b=2(m-2)\\c=-m+4\\\Delta=b^2-4ac=(2(m-2))^2-4(m+1)(-m+4)>0\\4(m^2-4m+4)+4(m^2-3m-4)>0/:4\\2m^2-7m>0/:2\\m^2-\frac{7}{2}m>0\\m(m-\frac{7}{2})>0\\m\in (-\infty;0)\cup(\frac{7}{2};\infty)

Pamiętamy jednocześnie, że m≠-1. Zajmijmy się teraz warunkiem na pierwiastki równania. Nieco je przekształcimy:

x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2)^2-(x_2^2)^2\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)-(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)=0\\(x_1-x_2)(x_1+x_2)(1-(x_1^2+x_2^2))=0\\x_1-x_2=0\quad  \vee \quad x_1+x_2=0\quad \vee \quad 1-(x_1^2+x_2^2)=0

Rozwiązujemy więc dalej trzy równania, sprawdzając, czy wynik należy do dziedziny D.

I równanie:

Ten przypadek nas nie interesuje z uwagi na to, że założeniem zadania jest, aby trójmian miał różne pierwiastki.

II równanie rozwiążemy, korzystając ze wzorów Viete'a:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}
x_1+x_2=0\\-\frac{b}{a}=0\\\frac{-2(m-2)}{m+1}=0\\m-2=0\\m=2\not\in D

III równanie rozwiążemy, korzystając również ze wzorów Viete'a


ksiązki Odpowiedź

m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}

© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3371



Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.