Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a Równanie kwadratowe z parametrem

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ tego samego znaku, spełniające warunek |x₁-x₂|<3.

Rozwiązanie zadania

Etap I

W pierwszej kolejności zbadamy kiedy funkcja f(x) ma dwa pierwiastki. Wiemy, że trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni. Mamy więc:

$\Delta>0\\b^2-4ac>0 \\ [2(m+1)]^2-4(6m+1)>0\\ 4(m^2+2m+1)-24m-4>0\\ 4m^2+8m+4-24m-4>0\\ 4m^2-16m>0\\m^2-4m>0\\m(m-4)>0$

Rozwiązanie nierówności odczytujemy z wykresu.

$x\in (-\infty;0)\cup (4+\infty)$

Etap II

Teraz zbadamy kiedy funkcja f(x) ma dwa pierwiastki tego samego znaku. Jeżeli pierwiastki mają być tego samego znaku, to ich iloczyn jest zawsze dodatni. Skorzystamy więc ze wzorów Viette'a.

$x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}>0 \\ \frac{6m+1}{1}>0\\ 6m+1>0\\ m>-\frac{1}{6}\\ x\in (-\frac{1}{6}; +\infty)$

Etap III

Teraz zbadamy warunek |x₁-x₂|<3.

$|x_1-x_2|<3\\ |\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\\ |\frac{-b-\sqrt{\Delta}+b-\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\\ |\frac{-2\sqrt{\Delta}}{2 \cdot 1}|<3\\ |-\sqrt{\Delta}|<3\\ \sqrt{\Delta}<3 \\ 0<\Delta <9 \\ 0<4m^2-16m<9 \\ \begin{cases} 4m^2-16m>0\\ 4m^2-16m<9 \end{cases}$

Pierwszą z tych nierówności już rozwiązaliśmy na etapie I. Zajmiemy się teraz drugą:

$4m^2-16m<9\\ 4m^2-16m-0<0\\ \Delta_m=16^2-4\cdot 4\cdot (-9)=400\\ m_1=\frac{16-20}{8}=-\frac{1}{2}\\ m_1=\frac{16+20}{8}=\frac{9}{2}\\ x\in(-\frac{1}{2};\frac{9}{2})$

Uwzględniamy teraz część wspólną wszystkich przedziałów otrzymanych na I, II i III etapie rozwiązania:

Odpowiedź

$x\in \lbrace (-\infty;0)\cup (4+\infty)\rbrace \cap (-\frac{1}{6}; +\infty)\cap (-\frac{1}{2};\frac{9}{2})\\ x\in (-\frac{1}{6};0)\cup (4;\frac{9}{2})$

Zadania podobne

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie

ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0

ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie $\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}$ w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie $\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}$ w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania

w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie

ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania

jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂, spełniające warunek

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.