Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Rozwiązanie zadania
Etap I
W pierwszej kolejności zbadamy, kiedy funkcja \(f(x)\) ma dwa pierwiastki. Wiemy, że trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni. Mamy więc:
\(\Delta>0\)
\(b^2-4ac>0\)
\([2(m+1)]^2-4(6m+1)>0\)
\(4(m^2+2m+1)-24m-4>0\)
\(4m^2+8m+4-24m-4>0\)
\(4m^2-16m>0\)
\(m^2-4m>0\)
\(m(m-4)>0\)
Rozwiązanie nierówności odczytujemy z wykresu.
\(x\in (-\infty;0)\cup (4+\infty)\)
Etap II
Teraz zbadamy, kiedy funkcja \(f(x)\) ma dwa pierwiastki tego samego znaku. Jeżeli pierwiastki mają być tego samego znaku, to ich iloczyn jest zawsze dodatni. Skorzystamy więc ze wzorów Viette'a.
\(x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}>0\)
\(\frac{6m+1}{1}>0\)
\(6m+1>0\)
\(m>-\frac{1}{6}\)
\(x\in (-\frac{1}{6}; +\infty)\)
Etap III
Teraz zbadamy warunek \(|x_1-x_2|<3\).
\(|x_1-x_2|<3\)
\(|\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\)
\(|\frac{-b-\sqrt{\Delta}+b-\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\)
\(|\frac{-2\sqrt{\Delta}}{2 \cdot 1}|<3\)
\(|-\sqrt{\Delta}|<3\)
\(\sqrt{\Delta}<3\)
\(0<\Delta <9\)
\(0<4m^2-16m<9\)
\(\begin{cases} 4m^2-16m>0\\4m^2-16m<9 \end{cases}\)
Pierwszą z tych nierówności już rozwiązaliśmy na etapie I. Zajmiemy się teraz drugą:
\(4m^2-16m<9\)
\(4m^2-16m-0<0\)
\(\Delta_m=16^2-4\cdot 4\cdot (-9)=400\)
\(m_1=\frac{16-20}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(m_1=\frac{16+20}{8}=\frac{9}{2}\)
\(x\in(-\frac{1}{2};\frac{9}{2})\)
Uwzględniamy teraz część wspólną wszystkich przedziałów otrzymanych na I, II i III etapie rozwiązania:
Odpowiedź
\(x\in \lbrace (-\infty;0)\cup (4+\infty)\rbrace \cap (-\frac{1}{6}; +\infty)\cap (-\frac{1}{2};\frac{9}{2})\)
\(x\in (-\frac{1}{6};0)\cup (4;\frac{9}{2})\)
© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3283
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 3.
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 4.
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie
\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.