Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem


Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x\neq a \ i \ x\neq 1
\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\\ \frac{3}{x-a}-\frac{x+a}{1-x}=0\\ \frac{3(1-x)}{(1-x)(x-a)}-\frac{(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\\ \frac{3(1-x)-(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0
3(1-x)-(x+a)(x-a)=0\\3-3x-(x^2-a^2)=0\\ 3-3x-x^2+a^2=0\\ -x^2-3x+a^2+3=0
\Delta=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (a^2+3)=\\ =9+4(a^2+3)=9+4a^2+12=4a^2+21
Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
4a^2+21>0\\ \Delta_a=0^2-4\cdot 4\cdot 21=-336<0

Rysunek pomocniczy

Dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania:
x_1=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2}\\ x_2=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem:

x\neq a \ i \ x\neq 1

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.

\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\\ \frac{3}{x-a}-\frac{x+a}{1-x}=0\\ \frac{3(1-x)}{(1-x)(x-a)}-\frac{(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\\ \frac{3(1-x)-(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.

3(1-x)-(x+a)(x-a)=0\\3-3x-(x^2-a^2)=0\\ 3-3x-x^2+a^2=0\\ -x^2-3x+a^2+3=0

Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

a=-1\\ b=-3 \\c=a^2+3 \\ \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (a^2+3)=\\ =9+4(a^2+3)=9+4a^2+12=4a^2+21

W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

\Delta>0\\ 4a^2+21>0\\ \Delta_a=0^2-4\cdot 4\cdot 21=-336<0

Współczynnik przy a2 jest dodatni, ramiona paraboli skierowane są do góry, interesują nas wartości większe od zera, a więc rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Rysunek pomocniczy

Zatem dla dowolnej wartości parametru a (a\in R) wyróżnik trójmianu kwadratowego ∆, znajdującego się po lewej stronie analizowanego równania jest dodatni. Równanie ma zatem dwa rozwiązania dla dowolnej wartości parametru a. Znajdźmy to rozwiązanie:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}

Rozwiązania należą do dziedziny równania. Skoro dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania, to nie ma takich wartości a, dla której równania ma 1 lub 0 rozwiązań.

ksiązki Odpowiedź

Dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania: x_1=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2},\ x_2=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-611

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Krótka podróż w głąb matematyki
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Nowoczesne kompendium matematyki
Kolorowe skarpetki Miasto
Kubek matematyka pi
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.