Strona główna » Matematyka » Równanie kwadratowe z parametrem

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem

Rozwiązać równanie $\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}$ w zależności od parametru a.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x\neq a \ i \ x\neq 1$
$\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\\ \frac{3}{x-a}-\frac{x+a}{1-x}=0\\ \frac{3(1-x)}{(1-x)(x-a)}-\frac{(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\\ \frac{3(1-x)-(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0$
$3(1-x)-(x+a)(x-a)=0\\3-3x-(x^2-a^2)=0\\ 3-3x-x^2+a^2=0\\ -x^2-3x+a^2+3=0$
$\Delta=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (a^2+3)=\\ =9+4(a^2+3)=9+4a^2+12=4a^2+21$
Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
$4a^2+21>0\\ \Delta_a=0^2-4\cdot 4\cdot 21=-336<0$

Rysunek pomocniczy

Dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania:
$x_1=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2}\\ x_2=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem:

$x\neq a \ i \ x\neq 1$

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.

$\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\\ \frac{3}{x-a}-\frac{x+a}{1-x}=0\\ \frac{3(1-x)}{(1-x)(x-a)}-\frac{(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\\ \frac{3(1-x)-(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0$

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.

$3(1-x)-(x+a)(x-a)=0\\3-3x-(x^2-a^2)=0\\ 3-3x-x^2+a^2=0\\ -x^2-3x+a^2+3=0$

Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$a=-1\\ b=-3 \\c=a^2+3 \\ \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (a^2+3)=\\ =9+4(a^2+3)=9+4a^2+12=4a^2+21$

W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$\Delta>0\\ 4a^2+21>0\\ \Delta_a=0^2-4\cdot 4\cdot 21=-336<0$

Współczynnik przy a² jest dodatni, ramiona paraboli skierowane są do góry, interesują nas wartości większe od zera, a więc rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Zatem dla dowolnej wartości parametru a ( $a\in R$ ) wyróżnik trójmianu kwadratowego ∆, znajdującego się po lewej stronie analizowanego równania jest dodatni. Równanie ma zatem dwa rozwiązania dla dowolnej wartości parametru a. Znajdźmy to rozwiązanie:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}$

Rozwiązania należą do dziedziny równania. Skoro dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania, to nie ma takich wartości a, dla której równania ma 1 lub 0 rozwiązań.