Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem


Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x\neq a \ i \ x\neq 1
\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\\ \frac{3}{x-a}-\frac{x+a}{1-x}=0\\ \frac{3(1-x)}{(1-x)(x-a)}-\frac{(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\\ \frac{3(1-x)-(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0
3(1-x)-(x+a)(x-a)=0\\3-3x-(x^2-a^2)=0\\ 3-3x-x^2+a^2=0\\ -x^2-3x+a^2+3=0
\Delta=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (a^2+3)=\\ =9+4(a^2+3)=9+4a^2+12=4a^2+21
Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
4a^2+21>0\\ \Delta_a=0^2-4\cdot 4\cdot 21=-336<0

Rysunek pomocniczy

Dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania:
x_1=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2}\\ x_2=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem:

x\neq a \ i \ x\neq 1

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.

\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\\ \frac{3}{x-a}-\frac{x+a}{1-x}=0\\ \frac{3(1-x)}{(1-x)(x-a)}-\frac{(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\\ \frac{3(1-x)-(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.

3(1-x)-(x+a)(x-a)=0\\3-3x-(x^2-a^2)=0\\ 3-3x-x^2+a^2=0\\ -x^2-3x+a^2+3=0

Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

a=-1\\ b=-3 \\c=a^2+3 \\ \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (a^2+3)=\\ =9+4(a^2+3)=9+4a^2+12=4a^2+21

W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

\Delta>0\\ 4a^2+21>0\\ \Delta_a=0^2-4\cdot 4\cdot 21=-336<0

Współczynnik przy a2 jest dodatni, ramiona paraboli skierowane są do góry, interesują nas wartości większe od zera, a więc rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Rysunek pomocniczy

Zatem dla dowolnej wartości parametru a (a\in R) wyróżnik trójmianu kwadratowego ∆, znajdującego się po lewej stronie analizowanego równania jest dodatni. Równanie ma zatem dwa rozwiązania dla dowolnej wartości parametru a. Znajdźmy to rozwiązanie:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}

Rozwiązania należą do dziedziny równania. Skoro dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania, to nie ma takich wartości a, dla której równania ma 1 lub 0 rozwiązań.

ksiązki Odpowiedź

Dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania: x_1=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2},\ x_2=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-611





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.