Równanie liniowe

Definicja

Równanie liniowe z jedną niewiadomą jest to równanie w postaci:

gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, x - niewiadoma.

Przykłady

Oto przykłady funkcji liniowych:
(tutaj a=5 i b=1)
(tutaj a=-1 i b=0)
$\frac{x}{2}+\sqrt{7}=0$ (tutaj a= $\frac{1}{2}$ i b= $\sqrt{7}=0$ )

Równaniami liniowymi są także:
(widać to, gdy od obu stron równania odejmiemy liczbę 5)
(widać to, gdy poukładamy odpowiednio wyrazy)
$(\frac{1}{7}-\sqrt{5})x-1+\sqrt{3}=0$

Równanie pierwszego stopnia jest to równanie liniowe w przypadku, gdy $a\neq{0}$ .

Nazwa pochodzi od potęgi, w jakiej znajduje się niewiadoma - tutaj jest to pierwsza potęga.
Rozwiążmy równanie pierwszego stopnia:
$ax+b=0\\{ax=-b/:a}\\{x=-\frac{b}{a}}$

Zatem równanie pierwszego stopnia ma jeden pierwiastek równy:

$x_0=-\frac{b}{a}$

Pierwiastek równania pierwszego stopnia jest punktem zerowym funkcji liniowej.

Przykład

Rozwiązać równanie .
Rozwiązanie:
$2x-4=0\\{2x=4/:2}\\{x=2}$

Zgodnie z interpretacją geometryczną pierwiastka równania wykres funkcji , powinien przecinać oś OX w punkcie . Ilustruje to poniższy rysunek.

W przypadku równania liniowego, w którym zarówno a, jak i b jest równe zeru, to otrzymujemy równanie tożsamościowe 0=0 (każda liczba spełnia równanie $0\cdot{x+0=0}$ ), a przypadek ten ilustruje prosta leżąca na osi OX.

W przypadku równania liniowego, w którym a=0, natomiast b jest różne od zera, to otrzymujemy równanie sprzeczne (żadna liczba nie spełnia równania $0\cdot{x+b=0}$ ), a przypadek ten ilustruje prosta równoległa do osi OX przecinająca oś OY w punkcie y₀=b.

Jeżeli w równaniu pojawia się oznaczenie literowe dla wyrazu wolnego lub współczynnika przy niewiadomej to jest to równanie liniowe z parametrem.

Pytania

Ile rozwiązań może mieć równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą?

Równanie takie może mieć jedno rozwiązanie, zero rozwiązań, gdy jest to równanie sprzeczne (np. x-1=x+1) lub nieskończenie wiele rozwiązań, w przypadku, gdy jest to równanie tożsamościowe (np. x+1=2x+2).

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Cegła waży kilogram i pół cegły. Ile waży cegła?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Rozwiązywanie równań liniowych

Rozwiązywanie równań liniowych z jedną niewiadomą, Równanie liniowe z parametrem, Zadania z treścią

Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.