Strona główna » Matematyka » Rozwiązywanie równań liniowych

Zadanie - równanie liniowe

Rozwiązać równanie $\frac{2+3x}{x+1}-3=-\frac{3}{x}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$DR:\ x\neq 0, x+1\neq 0 \Leftrightarrow x\neq -1$
$\frac{2+3x}{x+1}-3=-\frac{3}{x}/ \cdot x(x+1) \\ x(2+3x)-3x(x+1)=-3(x+1)\\ 2x+\cancel{3x^2}-\cancel{3x^2}-3x=-3x-3$
$2x-3x=-3x-3\\ 2x-3x+3x=-3\\ 2x=-3/:2 \\ x=-\frac{3}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę równania. Mianowniki obu ułamków muszą być różne od zera:

$x\neq 0, \\ x+1\neq 0 \Leftrightarrow x\neq -1$

Możemy się teraz pozbyć ułamków, mnożąc obie strony równania przez wspólny mianownik ułamków x(x+1). Bardzo rzadko można obie strony równania mnożyć przez wyrażenie zawierające niewiadomą. Tutaj jest to możliwe, ponieważ wyrażenie przez które mnożymy z całą pewnością jest różne od zera, co założyliśmy przy wyznaczaniu dziedziny równania.

$\frac{2+3x}{x+1}-3=-\frac{3}{x}/ \cdot x(x+1) \\ x\cancel{(x+1)} \cdot \frac{2+3x}{\cancel{x+1}}-3x(x+1)=-\cancel{x}\cdot \frac{3}{\cancel{x}}\\ x(2+3x)-3x(x+1)=-3(x+1)\\ 2x+\cancel{3x^2}-\cancel{3x^2}-3x=-3x-3\\ 2x-3x=-3x-3$

Następnie przenosimy niewiadome na lewą stronę równania, a pozostałe liczby na prawą stronę równania i redukujemy wyrazy podobne. Jeśli przenosimy liczbę na drugą stronę równania, to zmieniamy jej znak na przeciwny.

$2x-3x=-3x-3\\ 2x-3x+3x=-3\\ 2x=-3/:2 \\ x=-\frac{3}{2}$

Jeśli nie jesteśmy pewni rozwiązania możemy je sprawdzić, podstawiając za niewiadomą x uzyskany wynik i sprawdzamy, czy otrzymamy równanie prawdziwe.

$\frac{2+3x}{x+1}-3=-\frac{3}{x} \\ \frac{2+3\cdot (-\frac{3}{2})}{-\frac{3}{2}+1}-3=-\frac{3}{-\frac{3}{2}} \\ \frac{\frac{4}{2}-\frac{9}{2}}{-\frac{1}{2}}-3=3\cdot \frac{2}{3}\\ \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}}-3=2\\ \frac{5}{\cancel{2}}\cdot \frac{\cancel{2}}{1}-3=2\\ 2=2$