Zdanie logiczne

W logice używamy zdań logicznych.

Definicja

Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać prawdę (liczbę 1) lub fałsz (liczbę 0).

Prawdę i fałsz nazywamy wartościami logicznymi zdania logicznego. Zdania oznaczamy małymi literami alfabetu.

Przykłady oznaczeń:

p, q, r – litery oznaczające zdania,
∧ – „i”, ∨ – „lub”, ¬ – „nieprawda, że…”.

Zdanie: liczba 2 jest parzysta i liczba 2 jest naturalna zapisujemy jako
p∧q, gdzie:

: „liczba 2 jest parzysta”,
: „liczba 2 jest naturalna”.

Przykłady

Oto przykłady zdań, które można uznać lub nie za zdania logiczne.

Przykłady zdań w logice	Przykłady zdań, które nie są zdaniami w sensie logicznym.
1+1 = 2. Jest to zdanie prawdziwe w arytmetyce.	Czy 1+1 = 2? Nie jest to zdanie oznajmujące, a więc nie jest zdaniem w logice.
1+1 = 0. Jest to zdanie fałszywe w arytmetyce.	Świat jest piękny. Nie jest to zdanie ani prawdziwe, ani fałszywe, nie ma nic wspólnego z arytmetyką.
3 jest liczbą nieparzystą. Jest to zdanie prawdziwe w arytmetyce.	3 jest pechową liczbą. Nie można przypisać jednoznacznie wartości logicznej.
Słońce jest gwiazdą. Jest to zdanie prawdziwe w astronomii.	Ucz się matematyki! Nie jest to zdanie oznajmujące.
Rok ma 200 dni. Jest to zdanie fałszywe w astronomii.	1+1 =. Nie można temu wyrażeniu przypisać ani prawdy, ani fałszu.

Dziedzina

W logice często ustalamy, na jakich obiektach pracujemy – mówimy wtedy o dziedzinie rozważań (np. liczby całkowite, liczby rzeczywiste, osoby, zwierzęta…). To właśnie wybór dziedziny decyduje o wartości logicznej wybranych zdań.

To samo zdanie logiczne w danej dziedzinie ma zawsze jednoznacznie przypisaną prawdę lub fałsz. W innej dziedzinie zdanie tak samo brzmiące może mieć jednak przypisaną inną wartość logiczną. Wówczas jednak (mimo, że tak samo brzmią) stanowią różne zdania logiczne.

Oto przykład przypisania różnych wartości logicznych w zależności od tego, w jakiej dziedzinie dane zdanie logiczne rozpatrujemy.

Zdanie	Dziedzina	Wartość logiczna
Istnieje iloraz 1 przez 2.	Zbiór liczb całkowitych.	0
Istnieje iloraz 1 przez 2.	Zbiór liczb rzeczywistych.	1

Logika zajmuje się ustalaniem wartości logicznej na podstawie wcześniej ustalonych wartości logicznych zdań składowych. Na przykład można powiedzieć, że 2 jest liczbą parzystą i naturalną na podstawie zdań: „2 jest liczbą parzystą” i „2 jest liczbą naturalną”.

Rodzaje zdań logicznych

Zdania logiczne możemy podzielić na dwa rodzaje:

Zdanie proste — jest to zdanie logiczne, w którym nie występują żadne spójniki takie jak „i”, „lub”, „nieprawda, że ...”, „wtedy i tylko wtedy”, „jeżeli ... to ...”.
Zdanie złożone — jest to zdanie logiczne, w którym występują spójniki zdaniowe.

Tautologia

Tautologia jest to formuła logiczna (zdanie logiczne) w rachunku zdań, która jest zawsze prawdziwa.

Przykłady tautologii w logice:

prawo wyłączonego środka \(p \vee \neg p\), czyli zdanie \(p\) jest prawdziwe albo fałszywe;
pada deszcz lub nie pada;
liczba \(n\) jest parzysta lub nieparzysta.
nieprawda, że człowiek jednocześnie żyje i nie żyje.

Pytania i odpowiedzi

Czy równanie 2x+1 = 0 jest zdaniem logicznym?

Równanie to nie jest zdaniem logicznym ani żadne inne równanie dowolnej liczby zmiennych. Zarówno równania, jak i nierówności, to przykłady form zdaniowych. Naszemu równaniu nie da się przypisać prawdy lub fałszu. Dopiero gdy za zmienną x podstawimy jakąkolwiek wartość (liczbę), wówczas nasze równanie staje się zdaniem logicznym. Podstawiając na przykład za x wartość 2, otrzymujemy zdanie 4+1 = 0, któremu jednoznacznie przypisujemy fałsz.

Gdzie w praktyce poza matematyką wykorzystuje się wiedzę na temat zdań logicznych i wartości logicznych?

Trudno sobie wyobrazić jakikolwiek program komputerowy bez zdań logicznych i określania ich wartości. Każda instrukcja warunkowa zawiera w sobie zdanie logiczne, od którego wartości zależy, czy dany fragment kodu wykona się, czy też nie. Są to czasem bardzo skomplikowane zdania.

Czym się różni zdanie potoczne od zdania logicznego?

W języku potocznym „zdanie” to każda wypowiedź zakończona kropką, znakiem zapytania, wykrzyknikiem lub wielokropkiem. W logice interesują nas tylko takie zdania, którym da się jednoznacznie przypisać prawdę albo fałsz. Nazywamy je zdaniami logicznymi.