Wielomian

Definicja

Wielomianem jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję

$y=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$

gdzie:

n - jest to tak zwany stopień wielomianu, $n\in{N_0}$
- liczby dane rzeczywiste nazywane współczynnikami wielomianu,
- wyraz wolny.

W zależności od liczby wyrazów w wielomianie będziemy go nazywać jednomianem, dwumianem, trójmianem itd.

Przykład

Oto kilka przykładów wielomianów wraz z ich opisem.

Nazwa wielomianu	Stopień wielomianu	Wyjaśnienia
trójmian	2	stopień wielomianu to największa potęga, w jakiej występuje zmienna; ponieważ wielomian ma 3 wyrazy, nazywamy go trójmianem
dwumian	5	kolejność wyrazów nie ma znaczenia przy określaniu stopnia wielomianu
pięciomian	4	-
jednomian	1	-
jednomian	0	-
jednomian zerowy	nie określa się	dla n=0 jednomian jest w postaci y=ax⁰ i dla x=0 nie jest określony; rozszerzamy dziedzinę takiego wielomianu tak, że dla x=0 wielomian przyjmuje wartość y=a

Wielomiany oznaczamy dużymi literami, podając w nawiasie oznaczenie zmiennej: W(x), A(y), B(z) itd.

Wielomian jest sumą jednomianów. Jeżeli dwa jednomiany tej samej zmiennej są tego samego stopnia, to mówimy, że są podobne. Jednomiany podobne można redukować, zastępując ich sumę jednym wielomianem, a wielomian, którego wyrazy są ułożone od najwyższego stopnia do najniższego i który nie zawiera jednomianów podobnych nazywamy wielomianem uporządkowanym i zredukowanym.

Przykład

Wielomian nie jest uporządkowany ani zredukowany. Zredukujemy go dodając do siebie wyrazy i porządkując wyrazy od najwyższej potęgi:. Teraz widać, że jest to dwumian stopnia drugiego.