Wielomian

Definicja

Wielomianem jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję

$y=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$

gdzie:

n - jest to tak zwany stopień wielomianu, $n\in{N_0}$
- liczby dane rzeczywiste nazywane współczynnikami wielomianu,
- wyraz wolny.

W zależności od liczby wyrazów w wielomianie będziemy go nazywać jednomianem, dwumianem, trójmianem itd.

Przykłady

Oto kilka przykładów wielomianów wraz z ich opisem.

Nazwa wielomianu	Stopień wielomianu	Wyjaśnienia
trójmian	2	stopień wielomianu to największa potęga, w jakiej występuje zmienna; ponieważ wielomian ma 3 wyrazy, nazywamy go trójmianem
dwumian	5	kolejność wyrazów nie ma znaczenia przy określaniu stopnia wielomianu
pięciomian	4	-
jednomian	1	-
jednomian	0	-
jednomian zerowy	nie określa się	dla n=0 jednomian jest w postaci y=ax⁰ i dla x=0 nie jest określony; rozszerzamy dziedzinę takiego wielomianu tak, że dla x=0 wielomian przyjmuje wartość y=a

Wielomiany oznaczamy dużymi literami, podając w nawiasie oznaczenie zmiennej: W(x), A(y), B(z) itd.

Wielomian jest sumą jednomianów. Jeżeli dwa jednomiany tej samej zmiennej są tego samego stopnia, to mówimy, że są podobne. Jednomiany podobne można redukować, zastępując ich sumę jednym wielomianem, a wielomian, którego wyrazy są ułożone od najwyższego stopnia do najniższego i który nie zawiera jednomianów podobnych nazywamy wielomianem uporządkowanym i zredukowanym.

Przykład

Wielomian nie jest uporządkowany ani zredukowany. Zredukujemy go dodając do siebie wyrazy i porządkując wyrazy od najwyższej potęgi:. Teraz widać, że jest to dwumian stopnia drugiego.

Działania na wielomianach

W osobnych artykułach omawiamy działania na wuelomianach:

Pytania

Jak wykazać równość wielomianów?

Równość wielomianów wykazujemy poprzez porównanie wszystkich współczynników tych wielomianów. Zasadę tę wykorzystuje się między innymi przy rozwiązywaniu zadań z wielomianami z parametrem. Na przykład wielomian ax-1 jest równy wielomianowi 2x+b, jeżeli a=2 i b=-1.

Jak odczytać stopień i współczynniki wielomianu?

Stopień wielomianu odczytujemy wprost ze wzoru wielomianu, gdy tylko ten występuje jako suma jednomianów. Stopień wielomianu jest to wówczas największa potęga, w jakiej występuje zmienna. Jeżeli jednak wielomian występuje w innej postaci, na przykład iloczynowej, wtedy najlepiej wykonać działania na wielomianach i doprowadzić do postaci sumy jednomianów. Wtedy bez trudu otrzymamy współczynniki wielomianu oraz jego stopień.

Aby określić stopień wielomianu, który ma postać iloczynu innych wielomianów, możemy się domyślać stopnia wielomianu po tym, ile razy zmienna zostanie pomnożona przez samą siebie. Na przykład wielomian f(x)=(x-2)(x+5) jest wielomianem kwadratowym, a wielomian g(x)=(x²-4)²(x-1) jest wielomianem stopnia 5 (najwyższą - drugą potęgę niewiadomej podnosimy do kwadratu i mamy tu jeszcze iloczyn zmiennej, będącej w pierwszej potędze).

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wielomian

Zadanie - wartość wielomianu
Dany jest wielomian: . Obliczyć $A(-1), \ A(2),\ A(\sqrt{2}), A(-\sqrt[3]{2})$

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierwiastek wielomianu
Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) W(x) jest to taka liczba a, że W(a)=0

Wykres wielomianu
Umiejętność szybkiego sporządzania wykresu wielomianu przydaje się przy rozwiązywaniu nierówności nierówności wielomianowych.

Wielomian dwóch zmiennych
Funkcję z=ax^m\cdot{y^n}, gdzie (x,y)\in{R}\times{R}, współczynnik a\neq{0} oraz liczby całkowite m\geq{0},n\geq{0}, nazywamy jednomianem dwóch zmiennych

Test wiedzy