Wielomian dwóch zmiennych

Definicja

Funkcję $z=ax^m\cdot{y^n}$ , gdzie $(x,y)\in{R}\times{R}$ , współczynnik $a\neq{0}$ oraz liczby całkowite $m\geq{0},n\geq{0},$ nazywamy jednomianem dwóch zmiennych.

Przykład

Przykłady jednomianów dwóch zmiennych.

$W(x,y)=2x^2y^3\\A(x,y)=-xy\\B(x,y)=0$

Liczbę n+m nazywamy stopniem jednomianu dwóch zmiennych.

Przykład

Jednomian W(x,y)	Stopień jednomianu
x²y³	5
-xy	2
4x²y	3
0	nie określa się

Definicja

Funkcję , gdzie $(x,y)\in{R}\times{R}$ , a jest sumą jednomianów dwóch zmiennych x i y nazywamy wielomianem dwóch zmiennych

Przykład

Przykłady wielomianów dwóch zmiennych.
$W(x,y)=2x^2y^3-3xy-x^3\\A(x,y)=-xy+2\\B(x,y)=xy+x^2y+xy^2$

Stopień wielomianu dwóch zmiennych jest to najwyższy ze stopni wyrazów tego wielomianu.

Przykład

Wielomian W(x,y)	Stopień wielomianu
x²y³-x⁵y	6
5xy²-xy	3
4xy+x³	3
x⁵y⁵+xy-1	10

Definicja

Wielomian dwóch zmiennych nazywamy symetrycznym, jeżeli

Przykład

Jeżeli zamienimy ze sobą zmienne i otrzymamy ten sam wielomian, to mamy do czynienia z wielomianem symetrycznym. Poniżej przykłady wielomianów symetrycznych:
$W(x,y)=W(y,x)=x^2+y^2+xy+1\\A(x,y)=A(y,x)=x^3y+xy^3-7$
Symetryczny już nie jest wielomian , gdyż po zamianie zmiennych otrzymamy $D(y,x)=y^2+xy+1\neq{B(x,y)}$

Definicja

Wielomian dwóch zmiennych nazywamy jednorodnym, jeżeli wszystkie jego wyrazy są tego samego stopnia.

Przykład

Poniżej przykłady wielomianów jednorodnych:
$W(x,y)=x^2+y^2+xy\\A(x,y)=x^3y+x^2y^2+x^4$
jednorodny już nie jest wielomian , ze względu na wyraz wolny, a także ze względu na różne stopnie wyrazów.