Strona główna » Matematyka » Wielomian dwóch zmiennych

Zadanie - wielomian dwóch zmiennych

Dany jest wielomian

. Określić stopień wielomianu oraz obliczyć wartości $W(1,-1), W(\sqrt{2},\sqrt{3})$

Rozwiązanie zadania uproszczone

st. W(x,y)=5

$W(x,y)=2x^2y^3+3x-4y^3-xy\\ W(1,-1)=-2+3+4+1=6 \\ W(\sqrt{2},\sqrt{3})=2\cdot (\sqrt{2})^2\cdot (\sqrt{3})^3+3\cdot \sqrt{2}-4\cdot (\sqrt{3})^3-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{3})=\\ =2\cdot 2\cdot 3\sqrt{3}+3\sqrt{2}-4\cdot 3\sqrt{3}-\sqrt{6}=\cancel{12\sqrt{3}}+3\sqrt{2}-\cancel{12\sqrt{3}}-\sqrt{6}=\\ =3\sqrt{2}-\sqrt{6}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Stopień wielomianu dwóch zmiennych jest to najwyższy ze stopni wyrazów tego wielomianu. Jeżeli analizujemy kolejne wyrazy wielomianu ax^myⁿ, to liczbę n+m nazywamy stopniem jednomianu dwóch zmiennych (tego wyrazu).

Zaznaczono na żółto jednomian o najwyższym stopniu, równym 5 (2+3=5). Kolejne jednomiany są w stopniach: pierwszym (3x), trzecim (4y³) i drugim (xy). Zatem liczba 5 jest stopniem wielomianu W(x,y).

Obliczamy teraz wartości wielomianu, podstawiając za zmienne x i y odpowiednie liczby:

$W(x,y)=2x^2y^3+3x-4y^3-xy\\ W(1,-1)=2\cdot 1^2\cdot (-1)^3+3\cdot 1-4\cdot (-1)^3-1\cdot (-1)=\\ =-2+3+4+1=6 \\ W(\sqrt{2},\sqrt{3})=2\cdot (\sqrt{2})^2\cdot (\sqrt{3})^3+3\cdot \sqrt{2}-4\cdot (\sqrt{3})^3-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{3})=\\ =2\cdot 2\cdot 3\sqrt{3}+3\sqrt{2}-4\cdot 3\sqrt{3}-\sqrt{6}=\cancel{12\sqrt{3}}+3\sqrt{2}-\cancel{12\sqrt{3}}-\sqrt{6}=\\ =3\sqrt{2}-\sqrt{6}$ tło