Zadanie - wielomian dwóch zmiennych
Dany jest wielomian \(W(x,y)=2x^2y^3+3x-4y^3-xy\). Określić stopień wielomianu oraz obliczyć wartości \(W(1,-1), W(\sqrt{2},\sqrt{3})\)
Rozwiązanie zadania
Stopień wielomianu dwóch zmiennych jest to najwyższy ze stopni wyrazów tego wielomianu. Jeżeli analizujemy kolejne wyrazy wielomianu \(ax^my^n\), to liczbę \(n+m\) nazywamy stopniem jednomianu dwóch zmiennych (tego wyrazu).
\(W(x,y)=2x^2y^3+3x-4y^3-xy\)
Zaznaczono na żółto jednomian o najwyższym stopniu, równym \(5 (2+3=5)\). Kolejne jednomiany są w stopniach: pierwszym (\(3x\)), trzecim (\(4y^3\)) i drugim (\(xy\)). Zatem liczba \(5\) jest stopniem wielomianu \(W(x,y)\).
Obliczamy teraz wartości wielomianu, podstawiając za zmienne \(x\) i \(y\) odpowiednie liczby:
\(W(x,y)=2x^2y^3+3x-4y^3-xy\)
\(W(1,-1)=2\cdot 1^2\cdot (-1)^3+3\cdot 1-4\cdot (-1)^3-1\cdot (-1)=\\ =-2+3+4+1=6\)
\(W(\sqrt{2},\sqrt{3})=2\cdot (\sqrt{2})^2\cdot (\sqrt{3})^3+3\cdot \sqrt{2}-4\cdot (\sqrt{3})^3-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{3})=\)
\(=2\cdot 2\cdot 3\sqrt{3}+3\sqrt{2}-4\cdot 3\sqrt{3}-\sqrt{6}=\cancel{12\sqrt{3}}+3\sqrt{2}-\cancel{12\sqrt{3}}-\sqrt{6}=3\sqrt{2}-\sqrt{6}\)
© medianauka.pl, 2010-02-01, ZAD-566