Logo Serwisu Media Nauka


Równanie algebraiczne

Definicja Definicja

Równanie w postaci W(x)=0, gdzie W(x) jest wielomianem niezerowym nazywamy równaniem algebraicznym lub równaniem n-tego stopnia lub równaniem wielomianowym.

Przykład Przykład

Przykłady równań algebraicznych:
x^3+x-1=0 - jest to równanie 3-go stopnia,
x^5+5x^3-x-33=0- jest to równanie 5-go stopnia,
5x^2+7=0- jest to równanie 2-go stopnia (kwadratowe),
x-1=0- jest to równanie 1-go stopnia.

Twierdzenie Twierdzenie

Równanie algebraiczne n-tego stopnia ma co najwyżej n różnych pierwiastków (rozwiązań).

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli wielomian n-tego stopnia ma n różnych pierwiastków x_1,x_2,x_3,...,x_n, to
W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot{...}\cdot{(x-x_n)} gdzie an jest czynnikiem przy xn.

Twierdzenie Twierdzenie

Każde równanie algebraiczne nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek.


Teoria Rozwiązanie równania algebraicznego często sprowadza się do rozkładu wielomianu na czynniki, każdy z tych czynników możemy przyrównać do zera i otrzymać w ten sposób rozwiązania.

Można też zastosować następujący schemat rozwiązania równania algebraicznego:

  • szukamy pierwiastka a równania wśród podzielników wyrazu wolnego,
  • Dzielimy wielomian przez (x-a),
  • otrzymany iloraz przyrównujemy do zera,
  • w zależności od stopnia otrzymanego równania powtarzamy procedurę lub stosujemy inną znaną metodę.

Oto kilka przykładów rozwiązań równań algebraicznych.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie x^3-2x^2+x-2=0
Szukamy pierwiastków pośród liczb 1, -1, 2 i -2 (dzielniki wyrazu wolnego).
W(1)=1-2+1-2=-2\neq{0}\\W(-1)=-1-2-1-2=-6\neq{0}\\W(2)=8-8+2-2=0\\W(-2)=-8-8-2-2=-20\neq{0}
Znaleźliśmy jeden pierwiastek równy liczbie 2. Zatem wielomian W(x)=x^3-2x^2+x-2 dzieli się przez (x-2)
Wykonajmy to dzielenie.

\begin{array}{lll} (x^3-2x^2+x-2) &:& (x-2)=x^2+1 \\ \ \underline{x^3-2x^2} & &  \\ \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x - 2 & & \\ \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x-2} & &\\ \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 & & \\ \end{array}

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:
W(x)=x^3-2x^2+x-2=(x-2)(x^2+1)=0.
Ponieważ x^2+1<0 jedynym pierwiastkiem równania jest liczba 2.

Odpowiedź: x=2

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie -2x^3+3x^2+3x-2=0
Szukamy pierwiastków pośród liczb 1, -1, 2 i -2 (dzielniki wyrazu wolnego).
W(1)=-2+3+3-2=2\neq{0}\\W(-1)=2+3-3-2=0
Znaleźliśmy jeden pierwiastek równy liczbie -1. Zatem nasz wielomian dzieli się przez (x+1)
Wykonajmy to dzielenie.

\begin{array}{lll} (-2x^3+3x^2+3x-2) &:& (x+1)=-2x^2+5x-2 \\ \ \underline{-2x^3-2x^2} & & \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad 5x^2+3x-2 & & \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \ \ \underline{5x^2+5x} & &\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad \qquad -2x-2 & & \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad \quad \underline{-2x-2}  & & \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad R=0 & & \end{array}

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:
W(x)=-2x^3+3x^2+3x-2=(x+1)(-2x^2+5x-2)=0.
Drugi czynnik to nic innego jak trójmian kwadratowy, rozkładamy go więc na czynniki.
a=-2\\b=5\\c=-2\\{\Delta=b^2-4ac=25-16=9}\\x_1=\frac{-b-sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5-3}{-4}=2\\x_2=\frac{-b+sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5+3}{-4}=\frac{1}{2}

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:
W(x)=-2x^3+3x^2+3x-2=(x+1)(-2x^2+5x-2)=(x+1)(x-2)(x-\frac{1}{2})=0.

Odpowiedź: x_1=-1,\ x_2=\frac{1}{2},\ x_3=2

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli niezerowa liczba wymierna \frac{p}{q} (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0, gdzie a_n,\ a_{n-1},\ ...,a1 \ , a0 są współczynnikami całkowitymi i a_0\cdot{a_n}\neq{0}, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest podzielnikiem współczynnika an.

Przykład Przykład

W przypadku, gdy współczynnik an jest różny od jedności możemy typować także ułamki pośród pierwiastków równania algebraicznego.
Oto taki przykład:
Znajdźmy powyższą metodą pierwiastki równania 6x^2-x-1=0
Podzielniki p wyrazu wolnego: 1, -1
Podzielniki q współczynnika przy najwyższej potędze niewiadomej: 1,-1,2,-2,3,-3
Możliwe pierwiastki (p/q): 1,-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}
Sprawdźmy kolejno wartości wielomianów dla tych liczb.
W(1)=6-1-1=4\neq{0}\\W(-1)=6+1-1=6\neq{0}\\W(\frac{1}{2})=6\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1=0\\W(-\frac{1}{2})=6\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1=1\neq{0}\\W(\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{9}-\frac{1}{3}-1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}\neq{0}\\W(-\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{3}-1=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-1=0

A więc znaleźliśmy dwa pierwiastki (rozwiązania równania). Zapiszmy jeszcze postać iloczynową wielomianu.
6(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=0


© Media Nauka, 2009-08-18, ART-286



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom podstawowy)
Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:

A. -1
B. 21
C. 1
D. -21

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 28, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać równanie (4-x)(x^2+2x-15)=0.

zadanie - ikonka Zadanie 147 - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie 30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0.

zadanie - ikonka Zadanie 146 - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie 3x^2=\frac{6}{x+1}

zadanie - ikonka Zadanie 145 - równanie wielomianowe z parametrem
Dla jakich wartości parametrów a i b równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma podwójny pierwiastek, równy 3?

zadanie - ikonka Zadanie 144 - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie 8x^3-10x^2+x+1=0

zadanie - ikonka Zadanie 143 - Równanie wielomianowe (algebraiczne)
Rozwiązać równanie x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0

zadanie - ikonka Zadanie 60 - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie wielomianowe x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0.

zadanie - ikonka Zadanie 142 - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}

zadanie - ikonka Zadanie 141 - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}

zadanie - ikonka Zadanie 22 - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy