Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)


Rozwiązać równanie 30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(1)=30-17+27-15-3+2=24\neq 0 \\ W(-1)=-30-17-27-15+3+2=-84\neq 0 \\ W(2)=30\cdot32-17\cdot 16+27\cdot 8-15\cdot 4-3\cdot 2+2=840\neq 0 \\ W(-2)=-30\cdot32-17\cdot 16-27\cdot 8-15\cdot 4+3\cdot 2+2\neq 0

p:1,-1,2,-2 \\ q=1,-1,2,-2,3,-3,5,-5,6,-6,10,-10,15,-15,30,-30 \\ \frac{p}{q}=\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5},-\frac{2}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{10},-\frac{1}{10},\frac{1}{15},-\frac{1}{15},\frac{2}{15},-\frac{2}{15},\frac{1}{30},-\frac{1}{30}

W(\frac{1}{2})=\ ^{15}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{32}_{16}}-17\cdot \frac{1}{16}+27\cdot \frac{1}{8}-15\cdot \frac{1}{4}-3\cdot \frac{1}{2}+2=\\ =\frac{15}{16}-\frac{17}{16}+\frac{54}{16}-\frac{60}{16}-\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=0 \\ W(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{16}-\frac{17}{16}-\frac{54}{16}-\frac{60}{16}+\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=-\frac{90}{16}\neq 0 \\ W(\frac{1}{3})=\ ^{10}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{243}_{81}}-17\cdot \frac{1}{81}+27\cdot \frac{1}{27}-15\cdot \frac{1}{9}-3\cdot \frac{1}{3}+2=\\ =\frac{10}{81}-\frac{17}{81}+1-\frac{135}{81}-1+2\neq 0 \\ W(-\frac{1}{3})=-\frac{10}{81}-\frac{17}{81}-\cancel{1}-\frac{135}{81}+\cancel{1}+2=-\frac{162}{81}+2=0

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}=x^2+\frac{2}{6}x-\frac{3}{6}x-\frac{1}{6}=x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}

\small{(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2):(x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6})=30x^3-12x^2+30x-12\\ \underline{30x^5-5x^4-5x^3}\\ \ \ \ \ \ \ -12x^4+32x^3-15x^2-3x+2 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{-12x^4+2x^3+2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30x^3-17x^2-3x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \underline{30x^3-5x^2-5x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -12x^2+2x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-12x^2+2x+2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0}

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(30x^3-12x^2+30x-12)=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})\cdot 6(5x^3-2x^2+5x-2)=0/:6 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(5x^3-2x^2+5x-2)=0

W_1(\frac{1}{5})=5\cdot\frac{1}{125}-\frac{2}{25}+1-2=\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1\neq 0 \\ W_1(-\frac{1}{5})=-\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1-2\neq 0 \\ W_1(\frac{2}{5})=5\cdot\frac{8}{125}-2\cdot \frac{4}{25}+5\cdot \frac{2}{5}-2=\frac{8}{25}-\frac{8}{25}+2-2=0

(5x^3-2x^2+5x-2):(x-\frac{2}{5})=5x^2+5\\ \ \underline{5x^3-2x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x-2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{5x-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(5x^2+5)=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})\cdot 5(x^2+1)=0/:5 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(x^2+1)=0

x_1=-\frac{1}{3}, \ x_2=\frac{2}{5}, \ x_3=\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia z równaniem wielomianowym. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb:1, -1, 2, -2. Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez W(x). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

W(1)=30-17+27-15-3+2=24\neq 0 \\ W(-1)=-30-17-27-15+3+2=-84\neq 0 \\ W(2)=30\cdot32-17\cdot 16+27\cdot 8-15\cdot 4-3\cdot 2+2=840\neq 0 \\ W(-2)=-30\cdot32-17\cdot 16-27\cdot 8-15\cdot 4+3\cdot 2+2\neq 0

Niestety żaden z podzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu. Musimy szukać pierwiastków wśród ułamków, w czym pomoże nam niniejsze twierdzenie. wypisujemy więc wszystkie podzielniki wyrazu wolnego p i wszystkie podzielniki wyrazu stojącego przy xw najwyższej potędze, czyli liczby 30, a następnie wypisujemy wszystkie ułamki nieskracalnep/q. Pierwiastków należy szukać wśród tych liczb.

p:1,-1,2,-2 \\ q=1,-1,2,-2,3,-3,5,-5,6,-6,10,-10,15,-15,30,-30 \\ \frac{p}{q}=\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5},-\frac{2}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{10},-\frac{1}{10},\frac{1}{15},-\frac{1}{15},\frac{2}{15},-\frac{2}{15},\frac{1}{30},-\frac{1}{30}

Mamy bardzo dużo możliwości, a wielomian W(x) jest w stopniu piątym. Rachunki będą uciążliwe. Spróbujemy więc najpierw obliczyć wartość wielomianu dla najmniejszych ułamków:

W(\frac{1}{2})=\ ^{15}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{32}_{16}}-17\cdot \frac{1}{16}+27\cdot \frac{1}{8}-15\cdot \frac{1}{4}-3\cdot \frac{1}{2}+2=\\ =\frac{15}{16}-\frac{17}{16}+\frac{54}{16}-\frac{60}{16}-\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=0 \\ W(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{16}-\frac{17}{16}-\frac{54}{16}-\frac{60}{16}+\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=-\frac{90}{16}\neq 0 \\ W(\frac{1}{3})=\ ^{10}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{243}_{81}}-17\cdot \frac{1}{81}+27\cdot \frac{1}{27}-15\cdot \frac{1}{9}-3\cdot \frac{1}{3}+2=\\ =\frac{10}{81}-\frac{17}{81}+1-\frac{135}{81}-1+2\neq 0 \\ W(-\frac{1}{3})=-\frac{10}{81}-\frac{17}{81}-\cancel{1}-\frac{135}{81}+\cancel{1}+2=-\frac{162}{81}+2=0 tło tło tło tło

Znaleźliśmy dwa pierwiastki:1/2 oraz -1/3. Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a. Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez x-1/2 oraz przez x+1/3. Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}=x^2+\frac{2}{6}x-\frac{3}{6}x-\frac{1}{6}=x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}

Wykonujemy dzielenie:

\small{(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2):(x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6})=30x^3-12x^2+30x-12\\ \underline{30x^5-5x^4-5x^3}\\ \ \ \ \ \ \ -12x^4+32x^3-15x^2-3x+2 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{-12x^4+2x^3+2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30x^3-17x^2-3x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \underline{30x^3-5x^2-5x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -12x^2+2x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-12x^2+2x+2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0}

Możemy więc zapisać:

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(30x^3-12x^2+30x-12)=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})\cdot 6(5x^3-2x^2+5x-2)=0/:6 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(5x^3-2x^2+5x-2)=0

Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy tutaj wielomian trzeciego stopnia, występujący w nawiasie (oznaczmy go przez W1(x)), który sprowadzamy do postaci iloczynowej, szukając pierwiastków wśród ułamków (mamy teraz mniejszą liczbę możliwych ułamków oraz łatwiejsze rachunki): 1/5, -1/5, 2/5, -2/5.

W_1(\frac{1}{5})=5\cdot\frac{1}{125}-\frac{2}{25}+1-2=\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1\neq 0 \\ W_1(-\frac{1}{5})=-\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1-2\neq 0 \\ W_1(\frac{2}{5})=5\cdot\frac{8}{125}-2\cdot \frac{4}{25}+5\cdot \frac{2}{5}-2=\frac{8}{25}-\frac{8}{25}+2-2=0 tło tło

Mamy więc kolejny pierwiastek. Wykonujemy dzielenie wielomianu W1(x) przez x-2/5, zgodnie z twierdzenie Bezout.

(5x^3-2x^2+5x-2):(x-\frac{2}{5})=5x^2+5\\ \ \underline{5x^3-2x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x-2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{5x-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc zapisać:

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(5x^2+5)=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})\cdot 5(x^2+1)=0/:5 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(x^2+1)=0

Dwumian kwadratowy w ostatnim nawiasie już się nie rozkłada na czynniki. Sprawdźmy:

x^2+1\\ a=1\\ b=0\\ c=1\\ \Delta=b^2-4ac=0-4<0

Ponieważ wyróżnik dwumianu kwadratowego jest ujemny, to nie ma pierwiastków.

Analizowane równanie ma więc trzy rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

x_1=-\frac{1}{3}, \ x_2=\frac{2}{5}, \ x_3=\frac{1}{2}

© medianauka.pl, 2010-01-23, ZAD-537





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.