Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)

Rozwiązanie zadania uproszczone










Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Mamy do czynienia z równaniem wielomianowym. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb:1, -1, 2, -2. Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez W(x). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

Niestety żaden z podzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu. Musimy szukać pierwiastków wśród ułamków, w czym pomoże nam niniejsze twierdzenie. wypisujemy więc wszystkie podzielniki wyrazu wolnego p i wszystkie podzielniki wyrazu stojącego przy xw najwyższej potędze, czyli liczby 30, a następnie wypisujemy wszystkie ułamki nieskracalnep/q. Pierwiastków należy szukać wśród tych liczb.

Mamy bardzo dużo możliwości, a wielomian W(x) jest w stopniu piątym. Rachunki będą uciążliwe. Spróbujemy więc najpierw obliczyć wartość wielomianu dla najmniejszych ułamków:





Znaleźliśmy dwa pierwiastki:1/2 oraz -1/3. Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a. Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez x-1/2 oraz przez x+1/3. Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.

Wykonujemy dzielenie:

Możemy więc zapisać:

Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy tutaj wielomian trzeciego stopnia, występujący w nawiasie (oznaczmy go przez W1(x)), który sprowadzamy do postaci iloczynowej, szukając pierwiastków wśród ułamków (mamy teraz mniejszą liczbę możliwych ułamków oraz łatwiejsze rachunki): 1/5, -1/5, 2/5, -2/5.



Mamy więc kolejny pierwiastek. Wykonujemy dzielenie wielomianu W1(x) przez x-2/5, zgodnie z twierdzenie Bezout.

Możemy więc zapisać:

Dwumian kwadratowy w ostatnim nawiasie już się nie rozkłada na czynniki. Sprawdźmy:

Ponieważ wyróżnik dwumianu kwadratowego jest ujemny, to nie ma pierwiastków.
Analizowane równanie ma więc trzy rozwiązania:
Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-23, ZAD-537
Zadania podobne

Rozwiązać równanie wykładnicze

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie wielomianowe

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametrów a i b równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:
A. -1
B. 21
C. 1
D. -21
Pokaż rozwiązanie zadania

Wspólnym pierwiastkiem równań

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż równanie 9x3+18x2-4x-8=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż równanie x3−7x2−4x+28=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż równanie x3−5x2−9x+45=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Suma wszystkich rozwiązań równania x(x − 3)(x + 2) = 0 jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż równanie (x2 − 1)(x2 − 2x) = 0.
Pokaż rozwiązanie zadania