Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)


Rozwiązać równanie 30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(1)=30-17+27-15-3+2=24\neq 0 \\ W(-1)=-30-17-27-15+3+2=-84\neq 0 \\ W(2)=30\cdot32-17\cdot 16+27\cdot 8-15\cdot 4-3\cdot 2+2=840\neq 0 \\ W(-2)=-30\cdot32-17\cdot 16-27\cdot 8-15\cdot 4+3\cdot 2+2\neq 0

p:1,-1,2,-2 \\ q=1,-1,2,-2,3,-3,5,-5,6,-6,10,-10,15,-15,30,-30 \\ \frac{p}{q}=\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5},-\frac{2}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{10},-\frac{1}{10},\frac{1}{15},-\frac{1}{15},\frac{2}{15},-\frac{2}{15},\frac{1}{30},-\frac{1}{30}

W(\frac{1}{2})=\ ^{15}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{32}_{16}}-17\cdot \frac{1}{16}+27\cdot \frac{1}{8}-15\cdot \frac{1}{4}-3\cdot \frac{1}{2}+2=\\ =\frac{15}{16}-\frac{17}{16}+\frac{54}{16}-\frac{60}{16}-\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=0 \\ W(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{16}-\frac{17}{16}-\frac{54}{16}-\frac{60}{16}+\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=-\frac{90}{16}\neq 0 \\ W(\frac{1}{3})=\ ^{10}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{243}_{81}}-17\cdot \frac{1}{81}+27\cdot \frac{1}{27}-15\cdot \frac{1}{9}-3\cdot \frac{1}{3}+2=\\ =\frac{10}{81}-\frac{17}{81}+1-\frac{135}{81}-1+2\neq 0 \\ W(-\frac{1}{3})=-\frac{10}{81}-\frac{17}{81}-\cancel{1}-\frac{135}{81}+\cancel{1}+2=-\frac{162}{81}+2=0

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}=x^2+\frac{2}{6}x-\frac{3}{6}x-\frac{1}{6}=x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}

\small{(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2):(x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6})=30x^3-12x^2+30x-12\\ \underline{30x^5-5x^4-5x^3}\\ \ \ \ \ \ \ -12x^4+32x^3-15x^2-3x+2 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{-12x^4+2x^3+2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30x^3-17x^2-3x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \underline{30x^3-5x^2-5x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -12x^2+2x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-12x^2+2x+2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0}

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(30x^3-12x^2+30x-12)=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})\cdot 6(5x^3-2x^2+5x-2)=0/:6 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(5x^3-2x^2+5x-2)=0

W_1(\frac{1}{5})=5\cdot\frac{1}{125}-\frac{2}{25}+1-2=\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1\neq 0 \\ W_1(-\frac{1}{5})=-\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1-2\neq 0 \\ W_1(\frac{2}{5})=5\cdot\frac{8}{125}-2\cdot \frac{4}{25}+5\cdot \frac{2}{5}-2=\frac{8}{25}-\frac{8}{25}+2-2=0

(5x^3-2x^2+5x-2):(x-\frac{2}{5})=5x^2+5\\ \ \underline{5x^3-2x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x-2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{5x-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(5x^2+5)=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})\cdot 5(x^2+1)=0/:5 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(x^2+1)=0

x_1=-\frac{1}{3}, \ x_2=\frac{2}{5}, \ x_3=\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia z równaniem wielomianowym. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb:1, -1, 2, -2. Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez W(x). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

W(1)=30-17+27-15-3+2=24\neq 0 \\ W(-1)=-30-17-27-15+3+2=-84\neq 0 \\ W(2)=30\cdot32-17\cdot 16+27\cdot 8-15\cdot 4-3\cdot 2+2=840\neq 0 \\ W(-2)=-30\cdot32-17\cdot 16-27\cdot 8-15\cdot 4+3\cdot 2+2\neq 0

Niestety żaden z podzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu. Musimy szukać pierwiastków wśród ułamków, w czym pomoże nam niniejsze twierdzenie. wypisujemy więc wszystkie podzielniki wyrazu wolnego p i wszystkie podzielniki wyrazu stojącego przy xw najwyższej potędze, czyli liczby 30, a następnie wypisujemy wszystkie ułamki nieskracalnep/q. Pierwiastków należy szukać wśród tych liczb.

p:1,-1,2,-2 \\ q=1,-1,2,-2,3,-3,5,-5,6,-6,10,-10,15,-15,30,-30 \\ \frac{p}{q}=\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5},-\frac{2}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{10},-\frac{1}{10},\frac{1}{15},-\frac{1}{15},\frac{2}{15},-\frac{2}{15},\frac{1}{30},-\frac{1}{30}

Mamy bardzo dużo możliwości, a wielomian W(x) jest w stopniu piątym. Rachunki będą uciążliwe. Spróbujemy więc najpierw obliczyć wartość wielomianu dla najmniejszych ułamków:

W(\frac{1}{2})=\ ^{15}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{32}_{16}}-17\cdot \frac{1}{16}+27\cdot \frac{1}{8}-15\cdot \frac{1}{4}-3\cdot \frac{1}{2}+2=\\ =\frac{15}{16}-\frac{17}{16}+\frac{54}{16}-\frac{60}{16}-\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=0 \\ W(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{16}-\frac{17}{16}-\frac{54}{16}-\frac{60}{16}+\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=-\frac{90}{16}\neq 0 \\ W(\frac{1}{3})=\ ^{10}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{243}_{81}}-17\cdot \frac{1}{81}+27\cdot \frac{1}{27}-15\cdot \frac{1}{9}-3\cdot \frac{1}{3}+2=\\ =\frac{10}{81}-\frac{17}{81}+1-\frac{135}{81}-1+2\neq 0 \\ W(-\frac{1}{3})=-\frac{10}{81}-\frac{17}{81}-\cancel{1}-\frac{135}{81}+\cancel{1}+2=-\frac{162}{81}+2=0 tło tło tło tło

Znaleźliśmy dwa pierwiastki:1/2 oraz -1/3. Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a. Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez x-1/2 oraz przez x+1/3. Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}=x^2+\frac{2}{6}x-\frac{3}{6}x-\frac{1}{6}=x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}

Wykonujemy dzielenie:

\small{(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2):(x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6})=30x^3-12x^2+30x-12\\ \underline{30x^5-5x^4-5x^3}\\ \ \ \ \ \ \ -12x^4+32x^3-15x^2-3x+2 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{-12x^4+2x^3+2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30x^3-17x^2-3x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \underline{30x^3-5x^2-5x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -12x^2+2x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-12x^2+2x+2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0}

Możemy więc zapisać:

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(30x^3-12x^2+30x-12)=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})\cdot 6(5x^3-2x^2+5x-2)=0/:6 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(5x^3-2x^2+5x-2)=0

Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy tutaj wielomian trzeciego stopnia, występujący w nawiasie (oznaczmy go przez W1(x)), który sprowadzamy do postaci iloczynowej, szukając pierwiastków wśród ułamków (mamy teraz mniejszą liczbę możliwych ułamków oraz łatwiejsze rachunki): 1/5, -1/5, 2/5, -2/5.

W_1(\frac{1}{5})=5\cdot\frac{1}{125}-\frac{2}{25}+1-2=\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1\neq 0 \\ W_1(-\frac{1}{5})=-\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1-2\neq 0 \\ W_1(\frac{2}{5})=5\cdot\frac{8}{125}-2\cdot \frac{4}{25}+5\cdot \frac{2}{5}-2=\frac{8}{25}-\frac{8}{25}+2-2=0 tło tło

Mamy więc kolejny pierwiastek. Wykonujemy dzielenie wielomianu W1(x) przez x-2/5, zgodnie z twierdzenie Bezout.

(5x^3-2x^2+5x-2):(x-\frac{2}{5})=5x^2+5\\ \ \underline{5x^3-2x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x-2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{5x-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc zapisać:

(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(5x^2+5)=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})\cdot 5(x^2+1)=0/:5 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(x^2+1)=0

Dwumian kwadratowy w ostatnim nawiasie już się nie rozkłada na czynniki. Sprawdźmy:

x^2+1\\ a=1\\ b=0\\ c=1\\ \Delta=b^2-4ac=0-4<0

Ponieważ wyróżnik dwumianu kwadratowego jest ujemny, to nie ma pierwiastków.

Analizowane równanie ma więc trzy rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

x_1=-\frac{1}{3}, \ x_2=\frac{2}{5}, \ x_3=\frac{1}{2}

© medianauka.pl, 2010-01-23, ZAD-537

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie wielomianowe x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)
Rozwiązać równanie x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie 8x^3-10x^2+x+1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie wielomianowe z parametrem
Dla jakich wartości parametrów a i b równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie 3x^2=\frac{6}{x+1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 28, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać równanie (4-x)(x^2+2x-15)=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom podstawowy)
Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:

A. -1
B. 21
C. 1
D. -21


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2014
Wspólnym pierwiastkiem równań (x^2-1)(x-10)(x-5)=0 \quad i \quad \frac{2x-10}{x-1}=0 jest liczba:

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 27, matura 2014
Rozwiąż równanie 9x3+18x2-4x-8=0.

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki - czarno-białe grochy
Matematyka a fizyka
Kolorowe skarpetki 3D
50 wielkich idei które powinieneś znać
Matematyka konkretna
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.