Zadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)

Rozwiązanie zadania

Musimy znaleźć pierwiastki powyższego wielomianu (oznaczmy go przez \(W(x)\)). Rozwiązujemy zatem równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:

\(W(1)=1^4+3\cdot 1^3+4\cdot 1^2+3\cdot\)

\( 1+1=1+3+4+3+1=12\neq 0\\ W(-1)=1-3+4-3+1=0\)

Znaleźliśmy jeden pierwiastek \(x_1=-1\). Teraz możemy w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielić wielomian \(W(x)\) przez wielomian \((x+1)\).

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

\((x+1)(x^3+2x^2+2x+1)=0\)

Rozkładamy dalej wielomian \(x^3+2x^2+2x+1\), oznaczmy go przez \(W_1(x)\) na czynniki tą samą metodą co wyżej.

\(W_1(1)=1^3+2\cdot 1^2+2\cdot 1+1=1+2+2+1=6\neq 0\)

\(W_1(-1)=-1+2-2+1=0\)

Wykonujemy więc dzielenie wielomianu \(W_1\)przez dwumian \(x+1\):

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

\((x+1)(x+1)(x^2+x+1)=0\)

\((x+1)^2(x^2+x+1)=0\)

Liczba -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\). Mamy jeszcze trójmian kwadratowy, który spróbujemy rozłożyć na czynniki, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(x^2+x+1\)

\(a=1,\ b=1,\ c=1\)

\(\Delta=b^2-4ac=1-4=-3<0\)

Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, zatem trójmian nie posiada pierwiastków. Stąd wniosek, że jedynym rozwiązaniem badanego równania jest liczba -1.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-22, ZAD-533

Zadania podobne

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)

Rozwiązać równanie \(8x^3-10x^2+x+1=0\).

Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Rozwiązać równanie \(3x^2=\frac{6}{x+1}\).

Rozwiązać równanie \(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0\).

Rozwiązać równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:

A. \(-1\)

B. \(21\)

C. \(1\)

D. \(-21\)

Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:

A. -1

B. 1

C. 5

D. 10

Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).

Rozwiąż równanie \(x^3−7x^2−4x+28=0\).

Rozwiąż równanie \(x^3−5x^2−9x+45=0\).

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Rozwiąż równanie \((x^2− 1)(x^2−2x)=0\).

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

A. -3

B. 3

C. 0

D. 9

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

A. 3

B. 2

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-12x+8=0\).