Nauka » Matematyka » Równanie algebraiczne

Zadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W(1)=1^4+3\cdot 1^3+4\cdot 1^2+3\cdot 1+1=1+3+4+3+1=12\neq 0\\ W(-1)=1-3+4-3+1=0$

$(x^4+3x^3+4x^2+3x+1):(x+1)=x^3+2x^2+2x+1\\ \underline{x^4+x^3}\\ \ \ \ \ \ 2x^3+4x^2+3x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{2x^3+2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^2+3x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$W_1(1)=1^3+2\cdot 1^2+2\cdot 1+1=1+2+2+1=6\neq 0\\ W_1(-1)=-1+2-2+1=0$

$(x^3+2x^2+2x+1):(x+1)=x^2+x+1\\ \ \underline{x^3+x^2}\\ \ \ \ \ \ \ x^2+2x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2+x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$(x+1)(x+1)(x^2+x+1)=0 \\ (x+1)^2(x^2+x+1)=0$

$x^2+x+1 \\ \Delta=1-4=-3<0$

$\underline{x=-1}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Musimy znaleźć pierwiastki powyższego wielomianu (oznaczmy go przez W(x)). Rozwiązujemy zatem równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:

$W(1)=1^4+3\cdot 1^3+4\cdot 1^2+3\cdot 1+1=1+3+4+3+1=12\neq 0\\ W(-1)=1-3+4-3+1=0$

Znaleźliśmy jeden pierwiastek x₁=-1. Teraz możemy w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielić wielomian W(x) przez wielomian (x+1).

$(x^4+3x^3+4x^2+3x+1):(x+1)=x^3+2x^2+2x+1\\ \underline{x^4+x^3}\\ \ \ \ \ \ 2x^3+4x^2+3x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{2x^3+2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^2+3x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

Rozkładamy dalej wielomian x³+2x²+2x+1, oznaczmy go przez W₁(x) na czynniki tą samą metodą co wyżej.

$W_1(1)=1^3+2\cdot 1^2+2\cdot 1+1=1+2+2+1=6\neq 0\\ W_1(-1)=-1+2-2+1=0$

Wykonujemy więc dzielenie wielomianu W₁ przez dwumian x+1:

$(x^3+2x^2+2x+1):(x+1)=x^2+x+1\\ \ \underline{x^3+x^2}\\ \ \ \ \ \ \ x^2+2x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2+x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

$(x+1)(x+1)(x^2+x+1)=0 \\ (x+1)^2(x^2+x+1)=0$

Liczba -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x). Mamy jeszcze trójmian kwadratowy, który spróbujemy rozłożyć na czynniki obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$x^2+x+1 \\ a=1 \\ b=1 \\ c=1 \\ \Delta=b^2-4ac=1-4=-3<0$

Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, zatem trójmian nie posiada pierwiastków. Stąd wniosek, że jedynym rozwiązaniem badanego równania jest liczba -1

Odpowiedź

Zadania podobne

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze $(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie wielomianowe

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wielomianowe z parametrem
Dla jakich wartości parametrów a i b równanie

ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie $3x^2=\frac{6}{x+1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 28, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom podstawowy)
Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:

A. -1
B. 21
C. 1
D. -21

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2014
Wspólnym pierwiastkiem równań $(x^2-1)(x-10)(x-5)=0 \quad i \quad \frac{2x-10}{x-1}=0$ jest liczba:

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2014
Rozwiąż równanie 9x³+18x²-4x-8=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2018

Rozwiąż równanie x³−7x²−4x+28=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2019

Rozwiąż równanie x³−5x²−9x+45=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2020

Suma wszystkich rozwiązań równania x(x − 3)(x + 2) = 0 jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2020

Rozwiąż równanie (x² − 1)(x² − 2x) = 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.