Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)


Rozwiązać równanie x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(1)=1^4+3\cdot 1^3+4\cdot 1^2+3\cdot 1+1=1+3+4+3+1=12\neq 0\\ W(-1)=1-3+4-3+1=0

(x^4+3x^3+4x^2+3x+1):(x+1)=x^3+2x^2+2x+1\\ \underline{x^4+x^3}\\ \ \ \ \ \ 2x^3+4x^2+3x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{2x^3+2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^2+3x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x+1)(x^3+2x^2+2x+1)=0

W_1(1)=1^3+2\cdot 1^2+2\cdot 1+1=1+2+2+1=6\neq 0\\ W_1(-1)=-1+2-2+1=0

(x^3+2x^2+2x+1):(x+1)=x^2+x+1\\ \ \underline{x^3+x^2}\\ \ \ \ \ \ \ x^2+2x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2+x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x+1)(x+1)(x^2+x+1)=0 \\ (x+1)^2(x^2+x+1)=0

x^2+x+1 \\ \Delta=1-4=-3<0

\underline{x=-1}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Musimy znaleźć pierwiastki powyższego wielomianu (oznaczmy go przez W(x)). Rozwiązujemy zatem równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:

W(1)=1^4+3\cdot 1^3+4\cdot 1^2+3\cdot 1+1=1+3+4+3+1=12\neq 0\\ W(-1)=1-3+4-3+1=0

Znaleźliśmy jeden pierwiastek x1=-1. Teraz możemy w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielić wielomian W(x) przez wielomian (x+1).

(x^4+3x^3+4x^2+3x+1):(x+1)=x^3+2x^2+2x+1\\ \underline{x^4+x^3}\\ \ \ \ \ \ 2x^3+4x^2+3x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{2x^3+2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^2+3x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

(x+1)(x^3+2x^2+2x+1)=0

Rozkładamy dalej wielomian x3+2x2+2x+1, oznaczmy go przez W1(x) na czynniki tą samą metodą co wyżej.

W_1(1)=1^3+2\cdot 1^2+2\cdot 1+1=1+2+2+1=6\neq 0\\ W_1(-1)=-1+2-2+1=0

Wykonujemy więc dzielenie wielomianu W1 przez dwumian x+1:

(x^3+2x^2+2x+1):(x+1)=x^2+x+1\\ \ \underline{x^3+x^2}\\ \ \ \ \ \ \ x^2+2x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2+x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

(x+1)(x+1)(x^2+x+1)=0 \\ (x+1)^2(x^2+x+1)=0

Liczba -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x). Mamy jeszcze trójmian kwadratowy, który spróbujemy rozłożyć na czynniki obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego:

x^2+x+1 \\ a=1 \\ b=1 \\ c=1 \\ \Delta=b^2-4ac=1-4=-3<0

Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, zatem trójmian nie posiada pierwiastków. Stąd wniosek, że jedynym rozwiązaniem badanego równania jest liczba -1

ksiązki Odpowiedź

x=-1

© medianauka.pl, 2010-01-22, ZAD-533





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.