Zadanie - równanie algebraiczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(3x^2=\frac{6}{x+1}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Zaczniemy od określenia dziedziny równania. Ponieważ w mianowniku występuje wyraz \(x+1\), jego wartość musi być różna od zera.

\(x+1\neq 0\)

\(x\neq -1\)

Liczba -1 nie należy do zbioru rozwiązań powyższego równania. Przekształcimy je. Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę równania sprowadzamy je do wspólnego mianownika.

\(3x^2=\frac{6}{x+1}\)

\(3x^2-\frac{6}{x+1}=0\)

\(\frac{3x^2(x+1)}{x+1}-\frac{6}{x+1}=0\)

\(\frac{3x^2(x+1)-6}{x+1}=0\)

\(\frac{3x^3+3x^2-6}{x+1}=0\)

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zero. Możemy więc napisać:

\(3x^3+3x^2-6=0/:3\)

\(x^3+x^2-2=0\)

Otrzymaliśmy równanie wielomianowe. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb: \(1, -1, 2, -2\). Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez \(W(x)\). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

\(W(1)=1^3+1^2-2=0\)

\(W(-1)=-1+1-2\neq 0\)

\(W(2)=8+4-2\neq 0\)

\(W(-2)=-8+4-2\neq 0\)

Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek. Zgodnie z twierdzeniem Bezout liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-1\). Wykonujemy więc dzielenie:

obliczenia

Możemy więc zapisać:

\((x-1)(x^2+2x+2)=0\)

Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy trójmian kwadratowy, występujący w nawiasie sprowadzamy do postaci iloczynowej.

\(x^2+2x+2\)

\(a=1,\ b=1,\ c=2\)

\(\Delta=b^2-4ac=1-8<0\)

Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, trójmian nie ma pierwiastków.

Liczba 1 (należąca do dziedziny równania) jest jedynym rozwiązaniem równania.

ksiązki Odpowiedź

\(x=1\)

© medianauka.pl, 2010-01-23, ZAD-536

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie \(x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie \(8x^3-10x^2+x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiązać równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:

A. \(-1\)

B. \(21\)

C. \(1\)

D. \(-21\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:

A. -1

B. 1

C. 5

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−7x^2−4x+28=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−5x^2−9x+45=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Rozwiąż równanie \((x^2− 1)(x^2−2x)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

A. -3

B. 3

C. 0

D. 9

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

A. 3

B. 2

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-12x+8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.