Nauka » Matematyka » Równanie algebraiczne

Zadanie - równanie algebraiczne

Rozwiązać równanie $3x^2=\frac{6}{x+1}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$DR:x\neq -1$
$3x^2=\frac{6}{x+1} \\ 3x^2-\frac{6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^2(x+1)}{x+1}-\frac{6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^2(x+1)-6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^3+3x^2-6}{x+1}=0$
$3x^3+3x^2-6=0/:3 \\ x^3+x^2-2=0$

$(x^3+x^2-2):(x-1)=x^2+2x+2\\ \underline{x^3-x^2}\\ \ \ \ \ \ \ 2x^2-2 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{2x^2-2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x-2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2x-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$\Delta=-7<0$

Liczba x=1 jest jedynym rozwiązaniem równania.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zaczniemy od określenia dziedziny równania. Ponieważ w mianowniku występuje wyraz x+1, jego wartość musi być różna od zera.

$x+1\neq 0 \\ x\neq -1$

Liczba -1 nie należy do zbioru rozwiązań powyższego równania. Przekształcimy je. Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę równania, sprowadzamy je do wspólnego mianownika.

$3x^2=\frac{6}{x+1} \\ 3x^2-\frac{6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^2(x+1)}{x+1}-\frac{6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^2(x+1)-6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^3+3x^2-6}{x+1}=0$

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zero. Możemy więc napisać:

$3x^3+3x^2-6=0/:3 \\ x^3+x^2-2=0$

Otrzymaliśmy równanie wielomianowe. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb:1, -1, 2, -2. Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez W(x). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

$W(1)=1^3+1^2-2=0 \\ W(-1)=-1+1-2\neq 0 \\ W(2)=8+4-2\neq 0 \\ W(-2)=-8+4-2\neq 0$

Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek. Zgodnie z twierdzeniem Bezout liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-1. Wykonujemy więc dzielenie:

Możemy więc zapisać:

Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy trójmian kwadratowy występujący w nawiasie sprowadzamy do postaci iloczynowej.

$x^2+2x+2\\ a=1\\ b=1\\ c=2\\ \Delta=b^2-4ac=1-8<0$