Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Trójmian kwadratowy \(y=ax^2+bx+c\) można rozłożyć na czynniki liniowe. Jest to możliwe w przypadku, gdy \(\Delta\geq{0}\). Wówczas wzór na postać iloczynową funkcji drugiego stopnia jest następujący:

\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)

gdzie:

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

Przypomnijmy, że

\(\Delta=b^2-4ac\)

jest to wyróżnik trójmianu kwadratowego
Liczby \(x_1\) oraz \(x_2\) są punktami zerowymi (pierwiastkami) trójmianu kwadratowego.

W szczególnym przypadku, gdy \(\Delta=0\) oba pierwiastki są sobie równe (\(x_1=x_2=\frac{-b}{2a}=x_0\)) i postać iloczynową trójmianu kwadratowego można zapisać w następujący sposób:

\(y=a(x-x_0)^2\)

W przypadku, gdy \(\Delta<0\) trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Podsumowanie

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego jest zatem następująca:

Gdy \(\Delta >0\) funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe:

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

Gdy \(\Delta=0\) funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe:

\(x_0=\frac{-b}{2a}\)

Gdy \(\Delta<0\) funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

Przykłady

Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej: \(f(x)=3x^2-12x-15\).

Mamy tutaj:

\(a=3, b=-12, c=-15\)

Więc:

\(\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot{3}\cdot{(-15)}=144+180=324\)

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{324}=18\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12-18}{6}=-1\)

\({x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12+18}{6}=\frac{30}{6}=5}\)

Mamy więc postać iloczynową:

\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=3(x+1)(x-5)\)

Wyprowadzenie postaci iloczynowej funkcji kwadratowej

Aby otrzymać postać iloczynową trójmianu kwadratowego, wystarczy postać kanoniczną sprowadzić do wzoru skróconego mnożenia \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\). Czynnik \(A^2\) został podkreślony w postaci kanonicznej trójmianu. Brakuje czynnika \(B^2\).

\(y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}= a[\underline{(x+\frac{b}{2a})^2}-\frac{\Delta}{4a^2}]\)

Jeżeli założymy, że \(\Delta\geq{0}\) możemy napisać, że \(B=(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2,\quad{B^2} =\frac{\Delta}{4a^2}\). Mamy więc czynnik \(B^2\) (w naszym wzorze został podkreślony).

\(y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\underline{(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2}]\)

Możemy więc skorzystać ze wspomnianego wyżej wzoru skróconego mnożenia i otrzymujemy wówczas wzór:

\(y=a(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})=a(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a})(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})\)

Stosując odpowiednie oznaczenia mamy:

\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Gdy \(\Delta=0,\quad{\sqrt{\Delta}}=0\) i powyższy wzór przyjmuje postać:

\(y=a(x-\frac{-b-0}{2a})(x-\frac{-b+0}{2a})=a(x-\frac{-b}{2a})^2=a(x-x_0)^2\)

Pytania

Co to jest trójmian kwadratowy?

Jest to nazwa funkcji kwadratowej, która jest szczególnym przypadkiem wielomianu. Sama nazwa „trójmian” oznacza, że funkcja ta składa się z trzech składników, a słowo „kwadratowy” wskazuje na stopień wielomianu, czyli największą potęgę, w jakiej występuje zmienna.

Czy funkcję kwadratową można zawsze wyrazić w postaci iloczynowej?

Nie. Jest to możliwe tylko w przypadku, gdy \(\Delta\geq 0\).