Logo Serwisu Media Nauka


Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Trójmian kwadratowy y=ax^2+bx+c można rozłożyć na czynniki liniowe. Jest to możliwe w przypadku, gdy \Delta\geq{0}. Wówczas funkcja drugiego stopnia przyjmuje postać iloczynową:

y=a(x-x_1)(x-x_2)

gdzie:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}

Przypomnijmy, że

\Delta=b^2-4ac

jest to wyróżnik trójmianu kwadratowego
Liczby x1 oraz x2punktami zerowymi (pierwiastkami) trójmianu kwadratowego.

W szczególnym przypadku, gdy \Delta=0 oba pierwiastki są sobie równe (x_1=x_2=\frac{-b}{2a}=x_0) i postać iloczynową trójmianu kwadratowego można zapisać w następujący sposób:

y=a(x-x_0)^2


W przypadku, gdy \Delta<0 trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Podsumowanie:

Gdy \Delta\geq{0} trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe:
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}

Gdy \Delta=0 trójmian kwadratowy ma jedno miejsce zerowe:
x_0=\frac{-b}{2a}

Gdy \Delta<0 trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych.


Wyprowadzenie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego

Teoria Aby otrzymać postać iloczynową trójmianu kwadratowego wystarczy postać kanoniczną sprowadzić do wzoru skróconego mnożenia A^2-B^2=(A-B)(A+B). Czynnik A2 został podkreślony w postaci kanonicznej trójmianu. Brakuje czynnika B2.

y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=a[\underline{(x+\frac{b}{2a})^2}-\frac{\Delta}{4a^2}]

Jeżeli założymy, że \Delta\geq{0} możemy napisać, że B=(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2,\quad{B^2}=\frac{\Delta}{4a^2}. Mamy więc czynnik B2 (w naszym wzorze został podkreślony).

y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\underline{(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2}]

Możemy więc skorzystać z wspomnianego wyżej wzoru skróconego mnożenia i otrzymujemy wówczas wzór:

y=a(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})=a(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a})(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})

Stosując odpowiednie oznaczenia mamy:

y=a(x-x_1)(x-x_2)

Gdy \Delta=0,\quad{\sqrt{\Delta}}=0 i powyższy wzór przyjmuje postać:

y=a(x-\frac{-b-0}{2a})(x-\frac{-b+0}{2a})=a(x-\frac{-b}{2a})^2=a(x-x_0)^2

Przykład Przykład

Sprawdzić ile miejsc zerowych ma funkcja f(x)=3x^2-12x-15 oraz przedstawić tę funkcję w postaci iloczynowej.

Mamy tutaj:
a=3\\b=-12\\c=-15

Więc:
\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot{3}\cdot{(-15)}=144+180=324

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe.

\sqrt{\Delta}=\sqrt{324}=18\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12-18}{6}=-1\\{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12+18}{6}=\frac{30}{6}=5}

Mamy więc postać iloczynową:

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=3(x+1)(x-5)


© Media Nauka, 2009-07-19, ART-269



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 232 - postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
Przedstawić funkcję
a) f(x)=-x+7x-12
b) f(x)=2x2+44x+242
w postaci iloczynowej.

zadanie - ikonka Zadanie 234 - zastosowanie postaci iloczynowej trójmianu
Zapisać wzór funkcji kwadratowej, która ma dwa miejsca zerowe x1=-1 oraz x2=5, wiedząc że parabola przecina oś OY w punkcie (0,15).



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy