Zadanie - postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Treść zadania:

Rozwiązanie części a)

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) jest następująca:

\(x_1, x_2\) są pierwiastkami trójmianu. Jest to postać iloczynowa trójmianu gdy wyróżnik trójmianu jest dodatni.

\(x_0\) jest pierwiastkiem trójmianu. Jest to postać iloczynowa trójmianu gdy wyróżnik trójmianu jest równy zero.

Obliczamy więc wyróżnik trójmianu zgodnie ze wzorem:

Mamy więc:

\(f(x)=-x^2+7x-12\)

\(a=-1,\ b=7,\ c=-12\)

\(\Delta=7^2-4\cdot (-1)\cdot (-12)=49-48=1\)

Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni, zatem stosujemy pierwszy wzór na postać iloczynową. Najpierw musimy znaleźć pierwiastki trójmianu zgodnie z wzorami:

Podstawiamy dane:

\(x_1=\frac{-7-\sqrt{1}}{-2}=\frac{-8}{-2}=4\)

\(x_2=\frac{-7+\sqrt{1}}{-2}=\frac{-6}{-2}=3\)

Mamy już wszystkie dane, aby zapisać postać iloczynową funkcji kwadratowej:

Odpowiedź

Rozwiązanie części b)

Obliczamy wyróżnik trójmianu zgodnie ze wzorem:

Mamy więc:

\(f(x)=2x^2+44x+242\)

\(a=2,\ b=44,\ c=242\)

\(\Delta=44^2-4\cdot 2\cdot 242=1936-1936=0\)

Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest równy zero, zatem stosujemy drugi wzór na postać iloczynową. Najpierw musimy znaleźć pierwiastek trójmianu zgodnie ze wzorem:

Podstawiamy dane:

\(x_0=\frac{-44}{4}=-11\)

Mamy już wszystkie dane, aby zapisać postać iloczynową funkcji kwadratowej:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-02-14, ZAD-622

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Zapisać wzór funkcji kwadratowej, która ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-1\) oraz \(x_2=5\), wiedząc że parabola przecina oś OY w punkcie (0,15).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem

A. \(f(x)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1)\)

B. \(f(x)=\frac{1}{2}(x-3)(x+1)\)

C. \(f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1)\)

D. \(f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)(x+1)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) równania \(2(x+2)(x-2)=0\) spełniają warunek:

A. \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1\)

B. \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0\)

C. \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{4}\)

D. \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_1, x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

1. \(x_1+x_2=-8\)
2. \(x_1+x_2=-2\)
3. \(x_1+x_2=2\)
4. \(x_1+x_2=8\)

Pokaż rozwiązanie zadania.