Nauka » Matematyka » Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Zadanie - postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Przedstawić funkcję
a) f(x)=-x+7x-12
b) f(x)=2x²+44x+242
w postaci iloczynowej.

a) Rozwiązanie zadania uproszczone

$f(x)=-x^2+7x-12 \\ \Delta=7^2-4\cdot (-1)\cdot (-12)=49-48=1$
$x_1=\frac{-7-\sqrt{1}}{-2}=\frac{-8}{-2}=4\\ x_2=\frac{-7+\sqrt{1}}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$

b) Rozwiązanie zadania uproszczone

$f(x)=2x^2+44x+242 \\ \Delta=1936-1936=0$
$x_0=\frac{-44}{4}=-11$

a) Rozwiązanie szczegółowe

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c jest następująca

Gdzie, x₁, x₂ są pierwiastkami trójmianu. Jest to postać iloczynowa trójmianu gdy wyróżnik trójmianu jest dodatni.

Gdzie, x₀ jest pierwiastkiem trójmianu. Jest to postać iloczynowa trójmianu gdy wyróżnik trójmianu jest równy zero.

Obliczamy więc wyróżnik trójmianu zgodnie ze wzorem:

$\Delta=b^2-4ac$

Mamy więc:

$f(x)=-x^2+7x-12\\ a=-1\\ b=7 \\c=-12 \\ \Delta=7^2-4\cdot (-1)\cdot (-12)=49-48=1$ tło

Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni, zatem stosujemy pierwszy wzór na postać iloczynową. Najpierw musimy znaleźć pierwiastki trójmianu zgodnie z wzorami:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Podstawiamy dane:

$x_1=\frac{-7-\sqrt{1}}{-2}=\frac{-8}{-2}=4\\ x_2=\frac{-7+\sqrt{1}}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$

Mamy już wszystkie dane, aby zapisać postać iloczynową funkcji kwadratowej:

Odpowiedź

b) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy wyróżnik trójmianu zgodnie ze wzorem:

$\Delta=b^2-4ac$

Mamy więc:

$f(x)=2x^2+44x+242\\ a=2\\ b=44 \\c=242 \\ \Delta=44^2-4\cdot 2\cdot 242=1936-1936=0$ tło

Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest równy zero, zatem stosujemy drugi wzór na postać iloczynową. Najpierw musimy znaleźć pierwiastek trójmianu zgodnie ze wzorem:

$x_0=\frac{-b}{2a}$

Podstawiamy dane:

$x_0=\frac{-44}{4}=-11$

Mamy już wszystkie dane, aby zapisać postać iloczynową funkcji kwadratowej:

Odpowiedź

Zadania podobne

Zadanie - zastosowanie postaci iloczynowej trójmianu
Zapisać wzór funkcji kwadratowej, która ma dwa miejsca zerowe x₁=-1 oraz x₂=5, wiedząc że parabola przecina oś OY w punkcie (0,15).

Zadanie maturalne nr 7, matura 2014
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.
zadanie 7, matura 2014

Funkcja f jest określona wzorem
A. $f(x)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$
B. $f(x)=\frac{1}{2}(x-3)(x+1)$
C. $f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$
D. $f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)(x+1)$