Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Trójmian kwadratowy można rozłożyć na czynniki liniowe. Jest to możliwe w przypadku, gdy $\Delta\geq{0}$ . Wówczas funkcja drugiego stopnia przyjmuje postać iloczynową:

gdzie:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$

Przypomnijmy, że

$\Delta=b^2-4ac$

jest to wyróżnik trójmianu kwadratowego
Liczby x₁ oraz x₂ są punktami zerowymi (pierwiastkami) trójmianu kwadratowego.

W szczególnym przypadku, gdy $\Delta=0$ oba pierwiastki są sobie równe ( $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}=x_0$ ) i postać iloczynową trójmianu kwadratowego można zapisać w następujący sposób:

W przypadku, gdy $\Delta<0$ trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Podsumowanie:

Gdy $\Delta\geq{0}$ trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe:
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$

Gdy $\Delta=0$ trójmian kwadratowy ma jedno miejsce zerowe:
$x_0=\frac{-b}{2a}$

Gdy $\Delta<0$ trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych.

Wyprowadzenie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego

Aby otrzymać postać iloczynową trójmianu kwadratowego wystarczy postać kanoniczną sprowadzić do wzoru skróconego mnożenia . Czynnik A² został podkreślony w postaci kanonicznej trójmianu. Brakuje czynnika B².

$y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=a[\underline{(x+\frac{b}{2a})^2}-\frac{\Delta}{4a^2}]$

Jeżeli założymy, że $\Delta\geq{0}$ możemy napisać, że $B=(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2,\quad{B^2}=\frac{\Delta}{4a^2}$ . Mamy więc czynnik B² (w naszym wzorze został podkreślony).

$y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\underline{(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2}]$

Możemy więc skorzystać z wspomnianego wyżej wzoru skróconego mnożenia i otrzymujemy wówczas wzór:

$y=a(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})=a(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a})(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})$

Stosując odpowiednie oznaczenia mamy:

Gdy $\Delta=0,\quad{\sqrt{\Delta}}=0$ i powyższy wzór przyjmuje postać:

$y=a(x-\frac{-b-0}{2a})(x-\frac{-b+0}{2a})=a(x-\frac{-b}{2a})^2=a(x-x_0)^2$

Przykład

Sprawdzić ile miejsc zerowych ma funkcja oraz przedstawić tę funkcję w postaci iloczynowej.

Mamy tutaj:
$a=3\\b=-12\\c=-15$

Więc:
$\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot{3}\cdot{(-15)}=144+180=324$

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe.

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{324}=18\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12-18}{6}=-1\\{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12+18}{6}=\frac{30}{6}=5}$

Mamy więc postać iloczynową:

Pytania

Co to jest trójmian kwadratowy?

Jest to nazwa funkcji kwadratowej, która jest szczególnym przypadkiem wielomianu. Sama nazwa "trójmian" oznacza, że funkcja ta składa się z trzech składników, a słowo "kwadratowy" wskazuje na stopień wielomianu, czyli największą potęgę, w jakiej występuje zmienna.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Przedstawić funkcję
a) f(x)=-x+7x-12
b) f(x)=2x²+44x+242
w postaci iloczynowej.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zapisać wzór funkcji kwadratowej, która ma dwa miejsca zerowe x₁=-1 oraz x₂=5, wiedząc że parabola przecina oś OY w punkcie (0,15).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.
zadanie 7, matura 2014

Funkcja f jest określona wzorem
A. $f(x)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$
B. $f(x)=\frac{1}{2}(x-3)(x+1)$
C. $f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$
D. $f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)(x+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Pierwiastki x₁, x₂ równania 2(x+2)(x-2)=0 spełniają warunek:

A. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$
B. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0$
C. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=-2(x+3)(x-5). Liczby x₁, x₂ są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem

x₁+x₂=-8
x₁+x₂=-2
x₁+x₂=2
x₁+x₂=8

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcja kwadratowa

Funkcję w postaci y=ax^2+bx+c nazywamy funkcją kwadratową, trójmianem kwadratowym lub funkcją drugiego stopnia.

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego y=ax^2+bx+c jest następująca: y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.