Logo Media Nauka

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

Teoria Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego y=ax^2+bx+c jest następująca:

y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}

gdzie

\Delta=b^2-4ac

jest to tak zwany wyróżnik trójmianu kwadratowego, potocznie nazywany "deltą".


Postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest wygodna, gdy musimy sporządzić wykres funkcji kwadratowej lub określić jej własności (monotoniczność, ekstremum funkcji itp.). Korzystamy tutaj przy tym z przesunięcia wykresu funkcji y=ax^2 o wektor \vec{u}=[-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}]



Przykład Przykład

Sprowadzimy do postaci kanonicznej funkcję f(x)=2x^2-4x+12

Mamy tutaj:
a=2\\b=-4\\c=12

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot{2}\cdot{12}=16-96=-80

Wstawiamy więc liczby do wzoru:
y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=2(x+\frac{-4}{4})^2-\frac{-80}{8}=2(x-1)^2+10

Wyprowadzenie postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego

Poniżej wyprowadzamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego.
y=ax^2+bx+c
Z definicji trójmianu kwadratowego wynika, że a\neq{0} więc możemy wyjąć ten współczynnik przed nawias.
y=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})

Należy się pozbyć potęgi przy x. Możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia: x^2+2A+A^2=(x+A)^2, przy czym nie mamy jeszcze takiej postaci w naszym wzorze. A oznacza pewne wyrażenie liczbowe, musimy jednak najpierw uzyskać wyraz 2A.
y=a(x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+\frac{c}{a})

Mamy więc już wyraz 2A=2\frac{b}{2a}, więc A=\frac{b}{2a}. Brakuje nam jeszcze wyrazu A2, czyli A^2=(\frac{b}{2a})^2. Możemy go dodać do naszego wzoru, ale aby otrzymać zdanie prawdziwe musimy je także odjąć:
y=a[x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}]

Dla podkreślonych wyrazów możemy więc zastosować wspomniany wyżej wzór skróconego mnożenia.
y=a[\underline{x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2}-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}]

Otrzymujemy zatem
y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}]

Teraz obliczamy wyraz wolny i mnożymy wyrazy w nawiasie przez a.
y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{a^2}]\\{y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]}\\{y=a(x+\frac{b}{2a})^2-a\cdot \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\{y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}}

Wprowadzając oznaczenie \Delta=b^2-4ac otrzymujemy postać kanoniczną:
y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}


© medianauka.pl, 2009-07-19, ART-268





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

zadanie-ikonka Zadanie - postać kanoniczna trójmianu kwadratowego
Sprowadzić do postaci kanonicznej funkcję f(x)=2x2+2x+1.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - zastosowanie postaci kanonicznej trójmianu kwadr.
Wykres funkcji y=-x^2 przesunięto o wektor \vec{u}=[-5,5]. Jakie jest równanie paraboli, powstałej w wyniku przesunięcia?

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcja kwadratowaFunkcja kwadratowa
Funkcję w postaci y=ax^2+bx+c nazywamy funkcją kwadratową, trójmianem kwadratowym lub funkcją drugiego stopnia.
Postać iloczynowa trójmianu kwadratowegoPostać iloczynowa trójmianu kwadratowego
Trójmian kwadratowy y=ax^2+bx+c można rozłożyć na czynniki liniowe. Jest to możliwe w przypadku, gdy Delta>=0.
Wykres funkcji kwadratowejWykres funkcji kwadratowej
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.



© Media Nauka 2008-2018 r.