Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Sprowadzimy do postaci kanonicznej funkcję \(f(x)=2x^2-4x+12\).

Mamy tutaj:

\(a=2, b=-4, c=12\)

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot{2}\cdot{12}=16-96=-80\)

Wstawiamy więc liczby do wzoru:

\(y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=2(x+\frac{-4}{4})^2-\frac{-80}{8}=2(x-1)^2+10\)

Sprowadzimy do postaci ogólnej funkcję \(f(x)=2(x-1)^2+3\).

Wykonujemy działania:

\(f(x)=2(x-1)^2+3=2(x^2-2x+1)+3=2x^2-4x+5\)

Poniżej wyprowadzamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego.
\(y=ax^2+bx+c\).

Z definicji trójmianu kwadratowego wynika, że \(a\neq 0\) więc możemy wyjąć ten współczynnik przed nawias.

\(y=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\)

Należy się pozbyć potęgi przy \(x\). Możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

\(x^2+2A+A^2=(x+A)^2\),

przy czym nie mamy jeszcze takiej postaci w naszym wzorze. \(A\) oznacza pewne wyrażenie liczbowe, musimy jednak najpierw uzyskać wyraz \(2A\).

\(y=a(x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+\frac{c}{a})\)

Mamy więc już wyraz \(2A=2\frac{b}{2a}\), więc \(A=\frac{b}{2a}\). Brakuje nam jeszcze wyrazu \(A^2\), czyli \(A^2=(\frac{b}{2a})^2\). Możemy go dodać do naszego wzoru, ale aby otrzymać zdanie prawdziwe musimy je także odjąć:

\(y=a[x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}]\)

Dla podkreślonych wyrazów możemy więc zastosować wspomniany wyżej wzór skróconego mnożenia.

\(y=a[\underline{x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2}-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}]\)

Otrzymujemy zatem:

\(y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}]\)

Teraz obliczamy wyraz wolny i mnożymy wyrazy w nawiasie przez \(a\).

\(y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{a^2}]\)

\({y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]}\)

\({y=a(x+\frac{b}{2a})^2-a\cdot \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\)

\({y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}}\)

Wprowadzając oznaczenie \(\Delta=b^2-4ac\), otrzymujemy postać kanoniczną:

\(y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}\)