Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego jest następująca:

$y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$

gdzie

$\Delta=b^2-4ac$

jest to tak zwany wyróżnik trójmianu kwadratowego, potocznie nazywany "deltą".

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest wygodna, gdy musimy sporządzić wykres funkcji kwadratowej lub określić jej własności (monotoniczność, ekstremum funkcji itp.). Korzystamy tutaj przy tym z przesunięcia wykresu funkcji o wektor $\vec{u}=[-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}]$

Przykład

Sprowadzimy do postaci kanonicznej funkcję

Mamy tutaj:
$a=2\\b=-4\\c=12$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot{2}\cdot{12}=16-96=-80$

Wstawiamy więc liczby do wzoru:
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=2(x+\frac{-4}{4})^2-\frac{-80}{8}=2(x-1)^2+10$

Wyprowadzenie postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego

Poniżej wyprowadzamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego.

Z definicji trójmianu kwadratowego wynika, że $a\neq{0}$ więc możemy wyjąć ten współczynnik przed nawias.
$y=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$

Należy się pozbyć potęgi przy x. Możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia: , przy czym nie mamy jeszcze takiej postaci w naszym wzorze. A oznacza pewne wyrażenie liczbowe, musimy jednak najpierw uzyskać wyraz 2A.
$y=a(x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+\frac{c}{a})$

Mamy więc już wyraz $2A=2\frac{b}{2a}$ , więc $A=\frac{b}{2a}$ . Brakuje nam jeszcze wyrazu A², czyli $A^2=(\frac{b}{2a})^2$ . Możemy go dodać do naszego wzoru, ale aby otrzymać zdanie prawdziwe musimy je także odjąć:
$y=a[x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}]$

Dla podkreślonych wyrazów możemy więc zastosować wspomniany wyżej wzór skróconego mnożenia.
$y=a[\underline{x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2}-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}]$

Otrzymujemy zatem
$y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}]$

Teraz obliczamy wyraz wolny i mnożymy wyrazy w nawiasie przez a.
$y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{a^2}]\\{y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]}\\{y=a(x+\frac{b}{2a})^2-a\cdot \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\{y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}}$