Nauka » Matematyka » Równanie wielomianowe Równanie wykładnicze

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze

Treść zadania:

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Rozwiązanie zadania

W tym przypadku zastosujemy metodę podstawienia. Trzeba jednak nieco przekształcić nasze równanie. Skorzystamy z dwóch własności potęg.

\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
\(\frac{1}{a^n}=a^{-n}\)

Mamy więc:

\((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\)

\((2^{-1})^{x-1}-(2^x)^2-1=0\)

\(2^{1-x}-(2^x)^2-1=0\)

Zastosujemy jeszcze inną własność działań na potęgach:

\(a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}\)

\(2^{1-x}-(2^x)^2-1=0\)

\(\frac{2}{2^x}-(2^x)^2-1=0\)

Możemy teraz zastosować podstawienie i rozwiązywać równanie ze względu na nową zmienną.

\(2^x=t\)

\(\frac{2}{t}-t^2-1=0\)

Sprowadzamy wszystkie składniki po lewej stronie równania do wspólnego mianownika i pamiętamy, że ułamek jest równy zeru, jeśli licznik jest równy zero.

\(\frac{2}{t}-t^2-1=0\)

\(\frac{2}{t}-\frac{t^3}{t}-\frac{t}{t}=0\)

\(\frac{2-t^3-t}{t}=0\)

\(2-t^3-t=0/\cdot (-1)\)

\(t^3+t-2=0\)

Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Jego rozwiązań szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego:

\(W(t)=t^3+t-2\)

\(W(1)=1^3+1-2=0\)

\(W(-1)=(-1)^3-1-2=-4\neq 0\)

\(W(2)=2^3+2-2=8\neq 0\)

\(W(-2)=(-2)^3-2-2=-12\neq 0\)

Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek równy \(1\). Dzielimy więc wielomian \(W(t)\) przez jednomian \(t-1\).

obliczenia

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

\((t^2+t+2)(t-1)=0\)

Badamy pierwiastki trójmianu kwadratowego znajdującego się w pierwszym nawiasie.

\(t^2+t+2=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0\)

Jedynym rozwiązanie równania \((t^2+t+2)(t-1)=0\) jest liczba \(t=1\). Możemy wrócić do zmiennej x ponownie stosując podstawienie i dalej rozwiązujemy równanie wykładnicze korzystając z twierdzenia o równości potęg.

\(t=1\)

\(2^x=1\)

\(2^x=2^0\)

\(x=0\)