Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Treść zadania:
Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).
Rozwiązanie zadania
W tym przypadku zastosujemy metodę podstawienia. Trzeba jednak nieco przekształcić nasze równanie. Skorzystamy z dwóch własności potęg.
\(\frac{1}{a^n}=a^{-n}\)
Mamy więc:
\((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\)
\((2^{-1})^{x-1}-(2^x)^2-1=0\)
\(2^{1-x}-(2^x)^2-1=0\)
Zastosujemy jeszcze inną własność działań na potęgach:
\(2^{1-x}-(2^x)^2-1=0\)
\(\frac{2}{2^x}-(2^x)^2-1=0\)
Możemy teraz zastosować podstawienie i rozwiązywać równanie ze względu na nową zmienną.
\(2^x=t\)
\(\frac{2}{t}-t^2-1=0\)
Sprowadzamy wszystkie składniki po lewej stronie równania do wspólnego mianownika i pamiętamy, że ułamek jest równy zeru, jeśli licznik jest równy zero.
\(\frac{2}{t}-t^2-1=0\)
\(\frac{2}{t}-\frac{t^3}{t}-\frac{t}{t}=0\)
\(\frac{2-t^3-t}{t}=0\)
\(2-t^3-t=0/\cdot (-1)\)
\(t^3+t-2=0\)
Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Jego rozwiązań szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego:
\(W(t)=t^3+t-2\)
\(W(1)=1^3+1-2=0\)
\(W(-1)=(-1)^3-1-2=-4\neq 0\)
\(W(2)=2^3+2-2=8\neq 0\)
\(W(-2)=(-2)^3-2-2=-12\neq 0\)
Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek równy \(1\). Dzielimy więc wielomian \(W(t)\) przez jednomian \(t-1\).
Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:
\((t^2+t+2)(t-1)=0\)
Badamy pierwiastki trójmianu kwadratowego znajdującego się w pierwszym nawiasie.
\(t^2+t+2=0\)
\(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0\)
Jedynym rozwiązanie równania \((t^2+t+2)(t-1)=0\) jest liczba \(t=1\). Możemy wrócić do zmiennej x ponownie stosując podstawienie i dalej rozwiązujemy równanie wykładnicze korzystając z twierdzenia o równości potęg.
\(t=1\)
\(2^x=1\)
\(2^x=2^0\)
\(x=0\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-11-28, ZAD-403


Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie wykładnicze \((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\).