Strona główna » Matematyka » Równanie wykładnicze • Równanie algebraiczne

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze

Rozwiązać równanie wykładnicze $(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W tym przypadku zastosujemy metodę podstawienia. Trzeba jednak nieco przekształcić nasze równanie. Skorzystamy z dwóch własności potęg.

$(a^m)^n=a^{m\cdot n} \\ \frac{1}{a^n}=a^{-n}$

Zastosowanie pierwszego wzoru zaznaczono na fioletowo (w drugim kroku na niebiesko), drugiego - na żółto.

$(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0 \\ (2^{-1})^{x-1}-(2^x)^2-1=0 \\ 2^{1-x}-(2^x)^2-1=0$ tło

Zastosujemy jeszcze inną własność działań na potęgach:

$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$

$2^{1-x}-(2^x)^2-1=0 \\ \frac{2}{2^x}-(2^x)^2-1=0$ tło

Możemy teraz zastosować podstawienie i rozwiązywać równanie ze względu na nową zmienną.

$2^x=t \\ \frac{2}{t}-t^2-1=0$

Sprowadzamy wszystkie składniki po lewej stronie równania do wspólnego mianownika i pamiętamy, że ułamek jest równy zeru, jeśli licznik jest równy zero.

$\frac{2}{t}-t^2-1=0 \\ \frac{2}{t}-\frac{t^3}{t}-\frac{t}{t}=0 \\ \frac{2-t^3-t}{t}=0 \\ 2-t^3-t=0/\cdot (-1) \\ t^3+t-2=0$

Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Jego rozwiązań szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego:

$W(t)=t^3+t-2 \\ W(1)=1^3+1-2=0 \\ W(-1)=(-1)^3-1-2=-4\neq 0 \\ W(2)=2^3+2-2=8\neq 0 \\ W(-2)=(-2)^3-2-2=-12\neq 0$

Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek równy 1. Dzielimy więc wielomian W(t) przez jednomian t-1.

$\ (t^3+t-2):(t-1)=t^2+t+2 \\ \ \underline{t^3-t^2} \\ \ \ \ \ \ t^2+t-2 \\ \ \ \ \ \ \underline{t^2-t} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2t-2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2t-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0$

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

Badamy pierwiastki trójmianu kwadratowego znajdującego się w pierwszym nawiasie.

$t^2+t+2=0 \\ \Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0$

Jedynym rozwiązanie równania jest liczba t=1. Możemy wrócić do zmiennej x ponownie stosując podstawienie i dalej rozwiązujemy równanie wykładnicze korzystając z twierdzenia o równości potęg.