Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze


Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W tym przypadku zastosujemy metodę podstawienia. Trzeba jednak nieco przekształcić nasze równanie. Skorzystamy z dwóch własności potęg.

(a^m)^n=a^{m\cdot n} \\ \frac{1}{a^n}=a^{-n}

Zastosowanie pierwszego wzoru zaznaczono na fioletowo (w drugim kroku na niebiesko), drugiego - na żółto.

(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0 \\ (2^{-1})^{x-1}-(2^x)^2-1=0 \\ 2^{1-x}-(2^x)^2-1=0 tło tło tło tło tło tło

Zastosujemy jeszcze inną własność działań na potęgach:

a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}

2^{1-x}-(2^x)^2-1=0 \\ \frac{2}{2^x}-(2^x)^2-1=0 tło tło

Możemy teraz zastosować podstawienie i rozwiązywać równanie ze względu na nową zmienną.

2^x=t \\ \frac{2}{t}-t^2-1=0

Sprowadzamy wszystkie składniki po lewej stronie równania do wspólnego mianownika i pamiętamy, że ułamek jest równy zeru, jeśli licznik jest równy zero.

\frac{2}{t}-t^2-1=0 \\ \frac{2}{t}-\frac{t^3}{t}-\frac{t}{t}=0 \\ \frac{2-t^3-t}{t}=0 \\ 2-t^3-t=0/\cdot (-1) \\ t^3+t-2=0

Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Jego rozwiązań szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego:

W(t)=t^3+t-2 \\ W(1)=1^3+1-2=0 \\ W(-1)=(-1)^3-1-2=-4\neq 0 \\ W(2)=2^3+2-2=8\neq 0 \\ W(-2)=(-2)^3-2-2=-12\neq 0

Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek równy 1. Dzielimy więc wielomian W(t) przez jednomian t-1.

\ (t^3+t-2):(t-1)=t^2+t+2 \\ \ \underline{t^3-t^2} \\ \ \ \ \ \ t^2+t-2 \\ \ \ \ \ \ \underline{t^2-t} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2t-2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2t-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

(t^2+t+2)(t-1)=0

Badamy pierwiastki trójmianu kwadratowego znajdującego się w pierwszym nawiasie.

t^2+t+2=0 \\ \Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0

Jedynym rozwiązanie równania (t^2+t+2)(t-1)=0 jest liczba t=1. Możemy wrócić do zmiennej x ponownie stosując podstawienie i dalej rozwiązujemy równanie wykładnicze korzystając z twierdzenia o równości potęg.

t=1 \\ 2^x=1 \\ 2^x=2^0 \\ x=0 tło tło

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0 jest liczba x=0

© medianauka.pl, 2009-11-28, ZAD-403


Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie wielomianowe x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzina funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzna funkcji wymiernej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)
Rozwiązać równanie x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie 8x^3-10x^2+x+1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie wielomianowe z parametrem
Dla jakich wartości parametrów a i b równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne
Rozwiązać równanie 3x^2=\frac{6}{x+1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Rozwiązać równanie 30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 28, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać równanie (4-x)(x^2+2x-15)=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom podstawowy)
Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:

A. -1
B. 21
C. 1
D. -21


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2014
Wspólnym pierwiastkiem równań (x^2-1)(x-10)(x-5)=0 \quad i \quad \frac{2x-10}{x-1}=0 jest liczba:

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 27, matura 2014
Rozwiąż równanie 9x3+18x2-4x-8=0.

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.