Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze


Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W tym przypadku zastosujemy metodę podstawienia. Trzeba jednak nieco przekształcić nasze równanie. Skorzystamy z dwóch własności potęg.

(a^m)^n=a^{m\cdot n} \\ \frac{1}{a^n}=a^{-n}

Zastosowanie pierwszego wzoru zaznaczono na fioletowo (w drugim kroku na niebiesko), drugiego - na żółto.

(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0 \\ (2^{-1})^{x-1}-(2^x)^2-1=0 \\ 2^{1-x}-(2^x)^2-1=0 tło tło tło tło tło tło

Zastosujemy jeszcze inną własność działań na potęgach:

a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}

2^{1-x}-(2^x)^2-1=0 \\ \frac{2}{2^x}-(2^x)^2-1=0 tło tło

Możemy teraz zastosować podstawienie i rozwiązywać równanie ze względu na nową zmienną.

2^x=t \\ \frac{2}{t}-t^2-1=0

Sprowadzamy wszystkie składniki po lewej stronie równania do wspólnego mianownika i pamiętamy, że ułamek jest równy zeru, jeśli licznik jest równy zero.

\frac{2}{t}-t^2-1=0 \\ \frac{2}{t}-\frac{t^3}{t}-\frac{t}{t}=0 \\ \frac{2-t^3-t}{t}=0 \\ 2-t^3-t=0/\cdot (-1) \\ t^3+t-2=0

Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Jego rozwiązań szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego:

W(t)=t^3+t-2 \\ W(1)=1^3+1-2=0 \\ W(-1)=(-1)^3-1-2=-4\neq 0 \\ W(2)=2^3+2-2=8\neq 0 \\ W(-2)=(-2)^3-2-2=-12\neq 0

Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek równy 1. Dzielimy więc wielomian W(t) przez jednomian t-1.

\ (t^3+t-2):(t-1)=t^2+t+2 \\ \ \underline{t^3-t^2} \\ \ \ \ \ \ t^2+t-2 \\ \ \ \ \ \ \underline{t^2-t} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2t-2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2t-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

(t^2+t+2)(t-1)=0

Badamy pierwiastki trójmianu kwadratowego znajdującego się w pierwszym nawiasie.

t^2+t+2=0 \\ \Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0

Jedynym rozwiązanie równania (t^2+t+2)(t-1)=0 jest liczba t=1. Możemy wrócić do zmiennej x ponownie stosując podstawienie i dalej rozwiązujemy równanie wykładnicze korzystając z twierdzenia o równości potęg.

t=1 \\ 2^x=1 \\ 2^x=2^0 \\ x=0 tło tło

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0 jest liczba x=0

© medianauka.pl, 2009-11-28, ZAD-403


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.