Nauka » Matematyka » Równanie wykładnicze

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze

Treść zadania:

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\).

Rozwiązanie zadania

Doprowadzamy liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Stosujemy tutaj metodę, często wykorzystywaną w różnych zadaniach, w których pojawia się pierwiastek.

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)\cdot 1\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}-1)\cdot (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^2-1^2}{\sqrt{2}+1}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{2-1}{\sqrt{2}+1}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)

Zastosowaliśmy tutaj wzór skróconego mnożenia:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Po prawej stronie równania możemy się pozbyć ułamka, wykorzystując własność potęg:

\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}+1)^{-1}\)

Znając twierdzenie o równości potęg, możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg. Dalej już wystarczy rozwiązać zwykłę równanie liniowe, otrzymując rozwiązanie równania.

\(x+\sqrt{2}=-1\)

\(x=-1-\sqrt{2}\)