Nauka » Matematyka » Równanie wykładnicze

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze

Rozwiązać równanie wykładnicze $(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Poniżej przedstawiono uproszczone rozwiązanie zadania.

$(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1 \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}-1)\cdot (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^2-1^2}{\sqrt{2}+1} \\(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{2-1}{\sqrt{2}+1}$
$(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}+1)^{-1}$
$x+\sqrt{2}=-1 \\ x=-1-\sqrt{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Stosujemy tutaj metodę, często wykorzystywaną w różnych zadaniach, w których pojawia się pierwiastek.

$(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1 \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)\cdot 1 \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}-1)\cdot (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^2-1^2}{\sqrt{2}+1} \\(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{2-1}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ tło

Zastosowaliśmy tutaj (fragment obliczeń zaznaczony na fioletowo) wzór skróconego mnożenia:

Po prawej stronie równania możemy się pozbyć ułamka, wykorzystując własność potęg:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}+1)^{-1}$ tło

Znając twierdzenie o równości potęg, możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg. Dalej już wystarczy rozwiązać zwykłę równanie liniowe, otrzymując rozwiązanie równania.

$x+\sqrt{2}=-1 \\ x=-1-\sqrt{2}$

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania jest liczba $x=-1-\sqrt{2}$

Zadania podobne

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze.
Rozwiązać równanie wykładnicze $3^{\frac{1}{x}}=27^x$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiąż równanie wykładnicze.
Rozwiązać równanie wykładnicze $8^{2x-4}=256$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze $(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze metodą podstawienia
Rozwiązać równanie wykładnicze $4^x-2^{x+1}=-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a)

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.