Strona główna » Matematyka » Równanie wykładnicze

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze metodą podstawienia

Rozwiązać równanie wykładnicze $4^x-2^{x+1}=-1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$4^x-2^{x+1}=-1 \\ (2^x)^2-2\cdot 2^x+1=0$
$2^x=t \\ t^2-2t+1=0 \\ (t-1)^2=0 \\ t=1 \\ 2^x=1 \\ 2^x=2^0 \\ x=0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W tym przypadku do rozwiązania danego równania zastosujemy metodę podstawienia. Najpierw trzeba jednak nieco przekształcić równanie. Skorzystamy przy tym z jednej z własności działań na potęgach:

$a^{m+n}=a^m\cdot a^n$

$4^x-2^{x+1}=-1 \\ (2^2)^x-2^x\cdot 2^1+1=0 \\ (2^x)^2-2\cdot 2^x+1=0$ tło

Możemy teraz zastosować podstawienie i rozwiązywać równanie ze względu na nową zmienną. Za 2^x podstawiamy nową zmienną t.

$2^x=t \\ t^2-2t+1=0 \\ (t-1)^2=0 \\ t=1 \\ 2^x=1 \\ 2^x=2^0 \\ x=0$ tło

We fragmencie obliczeń, zaznaczonym na żółto zastosowano wzór skróconego mnożenia:

W efekcie można było zastosować twierdzenie o równości potęg. (Fragment obliczeń zaznaczony na fioletowo ilustruje zastosowanie tego twierdzenia.) Otrzymaliśmy w ten sposób rozwiązanie zadania.