Równania i nierówności wymierne
Równanie, które można zapisać w postaci:
\(\frac{W_1(x)}{W_2(x)}=0\),
gdzie \(W_1(x), W_2(x)\) są wielomianami, przy czym \(W_2(x)\) nie jest wielomianem zerowym, nazywamy równaniem wymiernym, którego dziedziną są takie wartości \(x\), dla których \(W_2(x)\neq 0\).
Jak rozwiązać równanie wymierne
Rozwiązanie równania wymiernego sprowadza się do rozwiązania równania \(W_1(x)=0\), a więc równania wielomianowego (dlatego, że ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik tego ułamka jest równy zeru). Należy przy tym uwzględnić, aby rozwiązania należały do dziedziny tego równania.
Nierówności wymierne
Rozważmy nierówność wymierną:
\(\frac{W_1(x)}{W_2(x)} < 0,\)
gdzie \(W_1(x), W_2(x)\) są wielomianami, a \(W_2(x)\) nie jest wielomianem zerowym.
Najpierw wyznaczamy dziedzinę nierówności: \(D = \{x \in \mathbb{R} : W_2(x) \neq 0\}.\)
Na zbiorze \(D\) nierówność \(\frac{W_1(x)}{W_2(x)} < 0\) jest równoważna nierówności \(W_1(x)\cdot W_2(x) < 0\).
Dlatego przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych często zastępujemy nierówność z ułamkiem nierównością \(W_1(x)\cdot W_2(x) < 0\), a na końcu pamiętamy, żeby z otrzymanego zbioru rozwiązań odrzucić te wartości \(x\), które nie należą do dziedziny \(D\).
Pytania
Jak rozwiązać równanie wymierne?
W pierwszej kolejności określamy dziedzinę takiego równania. Następnie staramy się przekształcić w taki sposób wyrażenie algebraiczne, aby otrzymać równanie w postaci \(W(x)=0\). Jest to równanie wielomianowe (algebraiczne). Następnie rozkładamy wielomian na czynniki tak, jak to pokazaliśmy w artykule: Równania algebraiczne. Przykłady rozwiązania równania wymiernego znajdziesz w naszym zbiorze zadań na końcu artykułu.
Ćwiczenia
Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.
📝1
Wszystkie ćwiczenia z tego działu 
Złote jajo w Planie Premium
W tej lekcji czekają 2 złote jaja. Rozwiąż je wszystkie i powiększ swoją populację dziobaków.
- brak reklam na całym serwisie
- symulacje i wirtualne laboratorium
- pełne atlasy przyrody
- wszystkie ćwiczenia w kursach, także złote jaja
- dodatkowe karty pracy do druku
- rozwiązania kart pracy krok po kroku
- lektor i wszystkie audiobooki
- pełny Kalendarz Ogrodnika
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1 — maturalne.
Równanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x\neq -5\),
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste
Zadanie nr 2 — maturalne.
Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\):
A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=1\).
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\).
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-1\).
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0, x=1\).
Zadanie nr 3 — maturalne.
Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\) ma:
A. ma trzy rozwiązania \(x=-2, x=0, x=2\)
B. ma dwa rozwiązania \(x=0, x=2\)
C. ma dwa rozwiązania \(x=-2, x=2\)
D. ma jedno rozwiązanie \(x=0\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Równanie \((x-1)(x+2)/(x-3)=0\)
A. ma trzy różne rozwiązania: \(x=1, x=3, x=-2\).
B. ma trzy różne rozwiązania: \(x=-1, x=-3, x=2\).
C. ma dwa różne rozwiązania: \(x=1, x=-2\).
D. ma dwa różne rozwiązania: \(x=-1, x=2\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Rozwiąż nierówność \(\frac{2x-1}{1-x}\leq \frac{2+2x}{5x}\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie \(\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}\) w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1.
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: -1 oraz 1.
📑 MODUŁY KURSU
W tym module czekają 2 złote jaja z 5 ćwiczeń z dziobakiem. W Planie Premium otworzysz je wszystkie — w każdym kursie.
Powiązane materiały
Równanie wielomianowe
Nierówność wielomianowa© medianauka.pl, 2015-11-01, A-3227/1462
Data aktualizacji artykułu: 2026-05-10
Złote jajo w Planie Premium
To ćwiczenie z dziobakiem jest dostępne w Planie Premium.
- brak reklam na całym serwisie
- symulacje i wirtualne laboratorium
- pełne atlasy przyrody
- wszystkie ćwiczenia w kursach, także złote jaja
- dodatkowe karty pracy do druku
- rozwiązania kart pracy krok po kroku
- lektor i wszystkie audiobooki
- pełny Kalendarz Ogrodnika
+ 2762 ćwiczeń Premium
Odblokuj złote jaja
