Równania i nierówności wymierne

Równanie, które można zapisać w postaci:

\(\frac{W_1(x)}{W_2(x)}=0\),

gdzie \(W_1(x), W_2(x)\) są wielomianami, przy czym \(W_2(x)\) nie jest wielomianem zerowym, nazywamy równaniem wymiernym, którego dziedziną są takie wartości \(x\), dla których \(W_2(x)\neq 0\).

Jak rozwiązać równanie wymierne

Rozwiązanie równania wymiernego sprowadza się do rozwiązania równania \(W_1(x)=0\), a więc równania wielomianowego (dlatego, że ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik tego ułamka jest równy zeru). Należy przy tym uwzględnić, aby rozwiązania należały do dziedziny tego równania.

Nierówności wymierne

Rozważmy nierówność wymierną:

\(\frac{W_1(x)}{W_2(x)} < 0,\)

gdzie \(W_1(x), W_2(x)\) są wielomianami, a \(W_2(x)\) nie jest wielomianem zerowym.

Najpierw wyznaczamy dziedzinę nierówności: \(D = \{x \in \mathbb{R} : W_2(x) \neq 0\}.\)

Na zbiorze \(D\) nierówność \(\frac{W_1(x)}{W_2(x)} < 0\) jest równoważna nierówności \(W_1(x)\cdot W_2(x) < 0\).

Dlatego przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych często zastępujemy nierówność z ułamkiem nierównością \(W_1(x)\cdot W_2(x) < 0\), a na końcu pamiętamy, żeby z otrzymanego zbioru rozwiązań odrzucić te wartości \(x\), które nie należą do dziedziny \(D\).

Pytania

Jak rozwiązać równanie wymierne?

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę takiego równania. Następnie staramy się przekształcić w taki sposób wyrażenie algebraiczne, aby otrzymać równanie w postaci \(W(x)=0\). Jest to równanie wielomianowe (algebraiczne). Następnie rozkładamy wielomian na czynniki tak, jak to pokazaliśmy w artykule: Równania algebraiczne. Przykłady rozwiązania równania wymiernego znajdziesz w naszym zbiorze zadań na końcu artykułu.