Równanie wymierne

Definicja

Równanie, które można zapisać w postaci:

gdzie W₁(x) i W₂(x) są wielomianami, przy czym W₂(x)≠0 nazywamy równaniem wymiernym.

Rozwiązanie równania wymiernego sprowadza się do rozwiązania równania W₁(x)=0 (dlatego, że ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik tego ułamka jest równy zeru). Należy przy tym uwzględnić, aby rozwiązania należały do dziedziny tego równania.

Nierówności wymierne

Nierówności wymierne rozwiązujemy w podobny sposób, z tą różnicą, że iloraz wielomianów zastępujemy iloczynem. Zauważ, że oba zdania są prawdziwe: W₁(x)/W₂(x)<0 oraz W₁(x)·W₂(x)<0. Drugie z nierówności potrafimy rozwiązać, jako nierówność algebraiczną, pamiętając, aby podać jedynie te rozwiązania, które należą do dziedziny nierówności.

Pytania

Jak rozwiązać równanie wymierne?

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę takiego równania. Następnie staramy się przekształcić w taki sposób wyrażenie algebraiczne, aby otrzymać równanie w postaci W(x)=0. Jest to równanie wielomianowe (algebraiczne). Następnie rozkładamy wielomian na czynniki tak, jak to pokazaliśmy w artykule: Równania algebraiczne. Przykłady rozwiązania równania wymiernego znajdziesz w naszym zbiorze zadań na końcu artykułu.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Równanie wymierne

Zadanie maturalne nr 9, matura 2016 (poziom podstawowy)
Równanie wymierne $\frac{3x-1}{x+5}=3$ , gdzie x≠-5,

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2015 (poziom podstawowy)
Równanie $\frac{x-1}{x+1}=x-1$ :

A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=1.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=0.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=-1.
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: x=0, x=1.

Pokaż rozwiązanie zadania